Práctica 5: El modelo ANOVA (ANalysis Of VAriance)

1. Ejemplo motivador

EJEMPLO 1: Tres trabajadores de una cadena de montaje van a comparar su efectividad. Se recoge el tiempo que tarda cada trabajador en realizar su tarea sobre las siguentes 10 unidades que pasan por su punto de la cadena.

A = c(4.44, 4.77, 6.56, 5.07, 5.13, 6.72, 5.46, 3.73, 4.31, 4.55)
B = c(6.22, 5.36, 5.40, 5.11, 4.44, 6.79, 5.50, 3.03, 5.70, 4.53)
C = c(3.93, 4.78, 3.97, 4.27, 4.37, 3.31, 5.84, 5.15, 3.86, 6.25)

Tenemos que decidir si hay algún trabajador “más rápido” o no. Para ello valoramos a cada uno con su tiempo medio:

Trabajador	Tiempo medio
A	5.074
B	5.208
C	4.573

Por lo tanto, el más rápido ha sido el C.

Comparemos gráficamente los tiempos de cada trabajador (dibujamos nube de puntos y diagrama de caja superpuestos):

Se ve que los tiempos de cada trabajador fluctúan, cada uno en torno a su media.

PREGUNTA: Si volvieramos a medir los tiempos de los trabajadores sobre las 10 próximas unidades:
- ¿Saldrían exactamente los mismos tiempos? ¿Por qué?
- ¿Por quién apostarías que sería más rápido en promedio? ¿Por qué?
- ¿Cuánto confiarías en tu apuesta? ¿Por qué?

FIN EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: Misma situación que en Ejemplo 1, pero con otros tres trabajadores distintos.

D = c(5.01, 5.04, 5.22, 5.07, 5.08, 5.24, 5.11, 4.94, 5.00, 5.02)
E = c(5.18, 5.09, 5.09, 5.06, 5.00, 5.23, 5.10, 4.86, 5.12, 5.01)
F = c(4.51, 4.59, 4.51, 4.54, 4.55, 4.45, 4.70, 4.63, 4.50, 4.74)

De nuevo comparamos su rapidez usando los tiempos medios:

Trabajador	Tiempo medio
D	5.073
E	5.074
F	4.572

Por lo tanto, el más rápido ha sido el F.

Vemos ahora las fluctuaciones de los tiempos de cada uno en el diagrama de caja:

PREGUNTA: Si volvieramos a medir los tiempos de los trabajadores sobre las 10 próximas unidades:
- ¿Saldrían exactamente los mismos tiempos? ¿Por qué?
- ¿Por quién apostarías que sería más rápido en promedio? ¿Por qué?
- ¿Cuánto confiarías en tu apuesta? ¿Por qué?

FIN EJEMPLO 2

CONCLUSIÓN: SE BUSCA TÉCNICA “OBJETIVA” (JUSTIFICADA ESTADÍSTICAMENTE) QUE PERMITA COMPARAR Y DECIDIR SOBRE SI LOS PROMEDIOS DE MÁS DE 2 POBLACIONES SON SIGNIFICATIVAMENTE DISTINTOS O NO (A PARTIR DE OBSERVAR MUESTRAS DE ELLAS). ES DECIR, QUE PERMITA DECIDIR ENTRE:

\(H_0\): \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3\) (todas las medias iguales)
\(H_1\): no \(H_0\) (alguna media distinta)

2. El modelo ANOVA de un factor

El modelo ANOVA de un factor involucra:

Una variable de gran interés, \(Y\), numérica.
Un factor \(X\) con valores (niveles) \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_a\) (\(a\) = número de niveles).
Unos parámetros \(\mu_1, \ldots, \mu_a\) (uno por cada nivel del factor \(X\)) y otro parámetro \(\sigma^2 > 0\)
Cuando \(X=x_i\), entonces \(Y \sim \text{N}(\mu_i, \sigma^2)\).
Un ejemplo de muestra: \(\begin{array}{c|cccc} X & Y & & & \\ \hline x_1 & y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1n_1} \\ x_2 & y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2n_2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_a & y_{a1} & y_{a2} & \cdots & y_{an_a} \end{array}\),
- donde para cada nivel \(x_i\) de \(X\), se han muestreado \(n_i\) valores de \(Y\), es decir, \(y_{i1}\), \(y_{i2}, \ldots,\) \(y_{in_i}\)
Entonces \(y_{ij} = \mu_i + e_{ij}\) donde:
- \(\mu_i\) es el valor medio provocado por el nivel \(x_i\) del factor \(X\)
- \(e_{ij}\) es el error aleatorio normal de media \(0\) y varianza \(\sigma^2\), que es independiente a cada muestreo, tanto de \(x_i\) como de otros \(e_{ij}\) anteriores.

En el ejemplo de los trabajadores:

La variable de interés es \(Y\) = “tiempo de tarea”.
El factor que puede influir sobre el tiempo es \(X\) = “trabajador que hace la tarea”.
- Tiene 3 niveles, “A”, “B” y “C”.
Desconocemos si el tiempo de cada trabajador sigue el modelo normal, pero podemos suponerlo, y luego ya veremos si es compatible con los resultados.
Desconocemos si los 10 tiempos de cada trabajador son independientes entre sí, e independientes de los tiempos de los otros trabajadores, pero podemos suponerlo, y luego ya veremos si es compatible con los resultados.

3. Objetivos del ANOVA

OBJETIVO 1:
- Decidir si la media de \(Y\) depende del nivel del factor \(X\) o no. Es decir, resolver el contraste:
  - \(H_0\): \(\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_a\) (todas las medias iguales)
  - \(H_1\): no \(H_0\) (alguna media distinta)
- Atención a la interpretación:
  - Aceptar \(H_0\) es admitir que todas las medias son iguales. Por tanto el valor de \(X\) no influye sobre el valor de \(Y\). Por tanto \(Y\) no depende de \(X\).
  - Rechazar \(H_0\) es admitir que alguna media es distinta. Por tanto el valor de \(X\) sí influye sobre el valor de \(Y\). Por tanto \(Y\) sí depende de \(X\).
OBJETIVO 2:
- En caso que rechazar \(H_0\), \(Y\) dependerá de \(X\), y por tanto interesa saber qué niveles de \(X\) son mejore para obtener un valor medio de \(Y\) mayor. Por tanto hacer un ránking de los niveles de \(X\) según el valor medio que aporten a la \(Y\)
  - Comparaciones a posteriori. Hay muchos métodos. Usamos el LSD de Fisher.
  - Se codifican los niveles de \(X\) con letras (a, b,…) que ayudan a detectar si las diferencias entre niveles son estadísticamente significativas o no

4. El modelo ANOVA de un factor con R

4.1. Los datos

Los datos deben ser en dos variables (una para \(Y\) y otra para \(X\)). Pueden ser:
- Dos columnas de una misma hoja de datos
- Dos vectores sueltos
A veces hay varios vectores con datos de \(Y\), un vector “por cada nivel” del factor \(X\). En ese caso hay que construir dos vectores (uno para todas las \(Y\)’s y otro para todas las \(X\)’s):
- El vector con todos los datos de \(Y\): concatenar todos los vectores de datos
- El vector con todos los datos de \(X\): repetir “cada nivel” de \(X\) (número o palabra) tantas veces como datos de \(Y\) asociados a ese nivel, y concatenar todos al final

4.2. La tabla ANOVA y la decisión del contraste

Es una tabla que ayuda a calcular el estadístico \(F\) y su \(p\)-valor para decidir el contraste de igualdad de medias.
Se consigue en dos pasos: primero aov() y luego summary()
Función aov( formula, data,... ):
- Argumentos:
  - formula: expresión de la forma y ~ x, que indica qué vector o columna hace de \(Y\) (la y) y cuál hace de \(X\) (la x). El símbolo ~ sólo sirve parar indicar que el símbolo de su izquierda es la variable dependiente, y el de su derecha es el factor.
  - data: si los datos están en dos vectores suelto, no utilizar. Si los datos están en dos columnas de una hoja de datos, poner el nombre de la hoja de datos.
- Devuelve: un objeto tipo lista, y por pantalla, las sumas de cuadrados (inter e intra) y sus grados de libertad, además de la estimación (insesgada) de \(\sigma\)
Función summary(object):
- Argumento: object, el objeto devuelto por aov()
- Devuelve: una lista con una componente en forma de hoja de datos, que contiene la tabla ANOVA, con con los grados de libertad (Df), las sumas de cuadrados (Sum Sq) inter (con el nombre del factor) e intra (con el nombre Residuals), las medias de cuadrados (Mean Sq), el valor del estadístico de contraste (F), y su \(p\)-valor (Pr(>F)). Si se quiere acceder al \(p\)-valor exacto, poner summary(object)[[1]][1,5]
Decisión del contraste:
- “Rechazar \(H_0\) si \(p\)-valor \(< \alpha\)”
- Recuerda:
  - Aceptar \(H_0\) significa…
    - Aceptar \(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_a\), que es lo mismo que
    - Aceptar que \(Y\) se comporta igual, sea cual sea el valor de \(X\), que es lo mismo que
    - Aceptar que \(Y\) NO depende del factor \(X\), que es lo mismo que
    - Aceptar que \(X\) no ejerce influencia sobre \(Y\).
  - Rechazar \(H_0\) significa…
    - Lo contrario de todo lo anterior
    - En este caso se motiva continuar el análisis estableciendo un ranking de niveles del factor \(X\) (ver sección 4.4)

4.3. Adecuación del modelo

Para poder aplicar ANOVA y confiar en sus resultados, las \(Y\)’s deben cumplir las condiciones del modelo ANOVA (errores “normales”, independientes entre sí, independientes del nivel del factor, y con varianza común en todos los niveles).
Esta labor se suele realizar intuitivamente con dos figuras.
Función plot(...) aplicada sobre el objeto devuelto por aov(), devuelve 4 figuras, de las que examinamos:
- Normal Q-Q (la segunda): se relacionan los cuantiles teóricos de la normal con los de los errores estimados.
  - Si los puntos quedan “cerca” de la diagonal, entonces, aparentemente, se está cumpliendo la normalidad de los errores.
  - Si “bastantes” puntos se alejan de la diagonal, entonces, aparentemente, está fallando la normalidad de los errores.
- Residuals vs Factor Levels (la cuarta): se puede apreciar tanto si los errores tienen una “tendencia” que los hace “no independientes” (línea roja), como si la varianza es común en todos los niveles o no (amplitud vertical de los puntos).
La igualdad de varianzas se puede contrastar de manera objetiva: contraste de Bartlett de igualdad de varianzas
- Función bartlett.test(formula, data) o bien bartlett.test(x,...):
  - formula: la misma que en aov()
  - data: el mismo que aov()
  - x,...: los vectores con los datos de \(Y\) para los diversos niveles del factor \(X\)
  - La hipótesis nula es la igualdad de varianzas en todos los niveles

4.4. Comparaciones a posteriori (por el método LSD de Fisher)

Si la tabla ANOVA conduce a aceptar que \(Y\) no depende de \(X\), ya está todo terminado.
En caso contrario, interesa conocer qué niveles de \(X\) dan mayor media de \(Y\). Hacemos un ranking de los niveles de \(X\).
Función LSD.test(y, trt, alpha, console), perteneciente al paquete agricolae, que se debe cargar (e instalar si no lo está).
Argumentos:
- y: objeto devuelto por la función aov().
- trt: nombre (etiqueta entrecomillada) de la variable factor (la \(X\)).
- alpha: nivel de significación deseado (\(0.05\) por defecto).
- console: poner a TRUE si se quiere ver en la R Console el resultado.
Devuelve: un objeto de tipo lista con estadísticos y tablas,
- Una tabla con los niveles del factor y, para cada uno,
  - la media de la variable \(Y\),
  - error estándar,
  - número de observaciones,
  - intervalo de confianza, etc.;
- Estadísticos varios;
- LSD: valor de la mínima distancia significativa, y
- Tabla con
  - el ranking: código (a, b, etc.) asignado por valor de media,
  - nivel del factor,
  - media de \(Y\) para dicho nivel.
  - Puede aparece un nivel con dos códigos distintos (cuando no se puede distinguir del nivel superior ni del inferior, pero ellos sí se distinguen entre sí).

6. Ejercicios evaluables

Carga el espacio de trabajo mt1021-1415-la-4-anova.RData, y en él encontrarás las variables que necesitas para los ejercicios.

# despeja esta linea cuando tengas el archivo
#load("mt1021-1415-la-4-anova.RData")

Problema 1 (25%)

La variable tiempos recoge los tiempos de realización de una misma tarea informática de varios operadores (de características muy similares) bajo 3 sistemas operativos, para comparar sobre cuál es más rápida.

Realiza un gráfico “sencillo” del tiempo en función del sistema operativo, que visualice la posible influencia del sistema operativo sobre el tiempo.

# Escribe aquí el codigo R de lo que se pide