0. Los datos de la práctica

• Copia el siguiente bloque de código en la consola de R para cargar los datos de la práctica:

load(url('http://goo.gl/tqMDyM'))

Se utilizarán en la sección de ejercicios.

1. ¿Qué es Inferencia Estadística?

• Manejamos un proceso que genera datos:
  • Proceso: pensaremos que se trata de una variable aleatoria \(X\) (binomial, Poisson, normal, etc.)
  • Datos: salen de esa variable aleatoria \(X\) y forman la muestra \(\{x_1, \ldots, x_n\}\).
• Cálculo de probabilidades: ¿cómo será el próximo dato de la muestra, si conozco el modelo de la variable aleatoria \(X\)?
• Inferencia estadística: ¿cómo es el modelo de \(X\) si conozco una muestra?

2. Dos tipos de inferencia

• Estimación de parámetros:
  • Se asume el modelo (binomial, poisson, normal,…), y
  • Se quiere “adivinar” el valor del parámetro desconocido (\(p\), \(\lambda\), \(\mu\), \(\sigma^2\),…)
  • Una muestra ayudará a calcularlo.
• Contraste de hipótesis:
  • Se supone a priori algo (ideal o lógico) sobre \(X\).
  • ¿Es cierto o no?
  • Una muestra ayudará a decicirlo.

3 . Inferencia sobre la probabilidad de éxito \(p\) de pruebas de Bernoulli

4. Inferencia sobre la media \(\mu\) del modelo normal (o de cualquier modelo si la muestra es grande)

5. Inferencia sobre la igualdad de varianzas de dos poblaciones normales

• Ejemplo: es conocido que la media de alturas en las poblaciones de hombres y muejres es distinta. ¿Lo es también la dispersión?
• Situación general:
  • Dos procesos modelizados por sendas variables continuas normales \(X\) e \(Y\) con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) respectivas.
  • Inferencia “estimar” el cociente de ambas varianzas
    • Con un valor concreto.
    • Con un intervalo de confianza
  • Inferencia “contrastar” sobre el cociente de ambas varianzas:
    • si dicho cociente vale un “presunto” valor (normalmente \(1\), que sería la igualdad de ambas varianzas)
    • o bien si no lo vale.
    • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X \neq \sigma^2_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X < \sigma^2_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X > \sigma^2_Y \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN var.test(x, y, ratio, alternative, mu, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la primera muestra.
    • y: datos de la segunda muestra (si hay).
    • ratio: sólo si se hace el contraste. “Presunto” cociente de varianzas. Por defecto vale \(1\), y sirve para contrastar que sean iguales.
    • alternative: sólo si se hace el contraste. Dirección de \(H_1\). Por defecto vale "two-sided" (para \(\neq\)), pero se debe cambiar a "greater" (si es \(>\)) o a "less" (si es \(<\)).
    • conf.level: Nivel de confianza. Sólo si se pide el intervalo de confianza. Su valor por defecto es 0.95.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • sample estimates: las estimaciones puntuales.
    • confidence interval: el intervalo de confianza.
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

6. Un contraste de normalidad

• Si la muestra es pequeña, sólo podemos usar inferencia sobre la media cuando podamos creer que los datos vienen de un modelo normal
• Hay muchos contrastes que ayudan a decidir si una muestra es compatible con el modelo normal
  • El contraste es \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra viene de un modelo normal} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• Los contrastes no son infalibles (y mucho menos para muestras pequeñas), por lo que hay que ser precavidos con esto.
• Uno de los muchos contrastes de normalidad implementados en R, es el de Shapiro-Wilks.
• FUNCIÓN shapiro.test(x):
  • Argumentos:
    • x: datos de muestra
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

7. El contraste (no paramétrico) Ji-cuadrado de Pearson sobre la bondad de ajuste

• Ejemplo: un dado se usa para un juego de azar, y se sospecha que no está equilibrado, ¿cómo ponerlo a prueba?
• Situación general:
  • Podemos escribir el “presunto modelo” en forma de tabla de probabilidades (ver tabla más abajo)
  • Podemos obtener una muestra y reprensentarla en tabla de frecuencias
  • Inferencia: contrastar si la muestra es compatible con el modelo (es decir, la tabla de probabilidades)

• Si se sospecha que el proceso ya no sigue el “presunto” modelo, y se quiere poner a prueba, se plantea el contraste:
  • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra se ajusta al "presunto" modelo} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, p)
  • Argumentos:
    • x: vector de las frecuencias absolutas de la muestra (suele ser el resultado de table() o bien directamente le vector c(\(n_1\) , \(n_2\) , \(\ldots\) , \(n_k\) ))
    • p: vector de probabilidades de la tabla, es decir c(\(p_1\) , \(p_2\) , \(\ldots\) , \(p_k\) ). Por defecto son todos iguales
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de aviso si se está usando indebidamente el contraste.

EJERCICIO 5: Una muestra presenta los valores \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\) con frecuencias respectivas \(15\), \(35\), \(28\) y \(19\). Se presume que el modelo viene dado por las probabilidades \(P(X=0) = 0.2\), \(P(X=1) = 0.3\), \(P(X=2) = 0.3\), \(P(X=3) = 0.2\). ¿La muestra es compatible con dicho modelo usando una significación del \(10\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.5233365 > 0.1\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con el modelo.

FIN EJERCICIO 5

8. El contraste (no paramétrico) Ji-cuadrado de Pearson sobre la independiencia de dos variables cualitativas

• Ejemplo: ¿es independiente el sexo de la lateralidad (uso de una mano u otra)? Si alguien piensa que no, ¿cómo ponerlo a prueba?
• Situación general:
  • Se observan conjuntamente dos variables \(X\) e \(Y\) cualitativas.
  • Se puede disponer de las dos columnas de datos \((X,Y)\) o bien de la tabla de frecuencias conjuntas de ambas.
  • Inferencia: contrastar si \(X\) e \(Y\) son independientes
    • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ X \text{ e } Y \text{ son independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, y)
  • Argumentos:
    • x: vector con los datos de \(X\), o bien matriz con la tabla de frecuencias conjuntas (que puede obtenerse a partir de table() sobre los datos originales, o bien escribirse directamente usando matrix(...)).
    • y: vector con los datos de \(Y\), o nada, si ya está todo en x.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de aviso si no se cumplen ciertas condiciones técnicas para usarlo.
• Recordatorio: para definir una matriz en R, se incluye el siguiente ejemplo:
  • \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)
  • matrix(data=c(1,2,3,4,5,6), ncol=3, byrow=TRUE)
  • se indican las entradas de la matriz, el número de columnas que tendrá, y si se quieren poner por filas.

EJERCICIO 6: Una muestra contiene \(82\) hombres diestros, \(8\) hombres zurdos, \(59\) mujeres diestras y \(11\) mujeres zurdas. ¿La muestra es compatible con que la lateralidad es independiente del sexo, usando una significación del \(5\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.281197 > 0.05\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con que sean independientes.

FIN EJERCICIO 6

9. Ejercicios preparatorios extra

• EJERCICIO 1
  • 1.1. La variable x1 contiene datos que supondremos de una normal de media \(\mu\) desconocida.
    • 1. Calcula la media de la muestra.
    • 2. Realiza inferencia sobre la verdadera \(\mu\) del modelo que ha generado los datos.
      • (b1) Estimación puntual de la media.
      • (b2) Intervalo de confianza al 90% para la verdadera media \(\mu\).
      • (b3) ¿Se puede admitir que la media es 5 con una significación del 10% contra que la media no es 5? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu \neq 5 \end{array} \right.\)
      • (b4) ¿Se puede admitir que la media es 5 con una significación del 10% contra que la media es mayor que 5? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu > 5 \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(5.192\), (b1) \(5.192\), (b2) \([4.986376, 5.397624]\), (b3) p-valor = \(0.1232332\) > 0.1 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu=5\) por lo que la respuesta es SÍ. (b4) p-valor = \(0.0616166\) < 0.1 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: \mu=5\) en favor de \(H_1: \mu > 5\), por lo que la respuesta es NO.
  • 1.2. Los datos de la variables x2 y x3 recogen los tiempos de entrenamiento de 2 atletas.
    • 1. Calcula el tiempo medio de cada atleta.
    • 2. Si suponemos que los tiempos de los dos atletas siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que tienen la misma media desconocida usando una significación del 1%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X \neq \mu_Y \end{array} \right.\)
    • 3. Calcula el intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias usando un nivel de confianza del 90%.
    • Sol.: (a) \(10.197\) y \(10.119\) resp., (b) p-valor = \(0.0205365\) > 0.01 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_X = \mu_Y\), por lo que la respuesta es SÍ, (c) \([0.0247966, 0.1312034]\).
  • 1.3. La hoja de datos x4 recoge los tiempos de dos operarios en realizar una serie de tareas (las mismas tareas para cada uno).
    • 1. Calcula el tiempo medio por tarea de cada operario.
    • 2. Si suponemos que los tiempos siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que ambos operarios son igual de eficientes (misma media desconocida) usando una significación del 5%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X \neq \mu_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(79.31\) y \(79.7\) resp., (b) p-valor = \(0.8680351\) > 0.05 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_X = \mu_Y\) por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 2
  • Contrasta si se puede aceptar o no que las varianzas (desconocidas) de los tiempos de los atletas son iguales usando una significación del 10%. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X \neq \sigma^2_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: p-valor = \(0.6484925\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0\) (igualdad de varianzas), por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 3
  • 3.1. Un alumno se quiere presentar a las elecciones de delegado de curso si puede aceptar que va a tener un % de voto superior al 33%. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p \leq 0.33 \\ H_1: \ p > 0.33 \end{array} \right.\). Para ello pregunta a 13 compañeros, entre los que 9 declaran que le votarían. ¿Qué decisión debería tomar si asume una significación del 10%?
    • Sol.: p-valor = \(0.0065099\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZARÍA \(H_0: p \leq 0.33\) (sale un aviso de aproximación que puede ser incorrecta), por lo que creería en \(H_1: p>0.33\), y la respuesta es que SÍ se presentaría (pero con reparos por el warning).
  • 3.2. Se quiere comparar la eficacia de dos tratamientos. Uno de ellos se aplica a un grupo de 25 personas de las que 14 mejoran. El otro se aplica a un grupo de 33 personas de las que sólo 11 mejoran.
    • 1. Calcula el porcentaje de éxito de cada tratamiento.
    • 2. Calcula un intervalo de confianza para cada \(p\) usando un nivel de confianza del 90%.
    • 3. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_X = p_Y \\ H_1: \ p_X \neq p_Y \end{array} \right.\)
    • 4. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10% contra la hipótesis de que el primero es mejor que el segundo. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_X = p_Y \\ H_1: \ p_X > p_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(56\)% y \(33.3333333\)% resp., (b) \([0.3802979, 0.7266203]\) y \([0.203008, 0.4916309]\) resp., (c) p-valor = \(0.1446929\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: p_X = p_Y\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es SÍ, (d) p-valor = \(0.0723464\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: p_X = p_Y\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 4
  • Contrasta si se ha hecho bien en el ejercicio 1.1. al asumir que los datos de la variable x1 venían de una normal usando una significación del 10%.
    • Sol: p-valor = \(0.0874044\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo normal), por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 5
  • Contrasta si se puede aceptar que el número de respuestas correctas de alumnos a un examen tipo test de 5 preguntas sigue el modelo binomial de \(n = 5\) y \(p = 0.5\), usando una significación del 10%, y donde los datos están en el vector x5. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{muestra viene de Bin(5, 0.5)} \\ H_1: \ \text{no } H_0 \end{array} \right.\) (ayuda: usa dbinom(...) para poner el modelo binomial en forma de tabla de probabilidades).
    • Sol.: p-valor = \(0.0886439\) < 0.10 (\(\alpha\)) por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo binomial del enunciado), por lo que la respuesta es NO (sale un mensaje de aviso de aproximación incorrecta).
• EJERCICIO 6
  • Según la muestra de la encuesta realizada al inicio de curso (varaible x), contrasta si se puede aceptar que las variables sobre internet en el móvil y el sistema operativo en PC son independientes, usando un nivel de significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} \text{'internet' y 'so_pc' independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
    • Sol.: p-valor = \(0.7670897\) > 0.10 (\(\alpha\)) por tanto ACEPTAMOS \(H_0:\) (independientes), por lo que la respuesta es SÍ.