Práctica 4: Inferencia estadística básica

0. Los datos de la práctica

• Copia el siguiente bloque de código en la consola de R para cargar los datos de la práctica:

load(url('http://goo.gl/tqMDyM'))

Se utilizarán en la sección de ejercicios.

1. ¿Qué es Inferencia Estadística?

• Cálculo de probabilidades: proceso de indagar sobre la futura muestra dando por conocido el modelo de la variable aleatoria \(X\).
• Inferencia estadística: proceso de indagar sobre el modelo vigente dando por conocida una muestra \(\{x_1, \ldots, x_n\}\).
  • El modelo será total o parcialmente desconocido, pero no es aleatorio.
    • O bien no sabemos nada.
    • O bien podemos suponer el modelo, pero no los parámetros.
  • Sólo la muestra puede ayudar a estimar el modelo.

2. Dos tipos de inferencia

• Estimación de parámetros: intento de aproximar el valor del parámetro desconocido
• Contraste de hipótesis: intento de verificar si el modelo de \(X\) es el que se supone a priori, o no.

2.1. Estimación de parámetros

• Estimación puntual: se calcula el valor más creíble a partir de la muestra
• Estimación por intervalo de confianza: se calcula un intervalo de valores más creíbles a partir de:
  • Los datos de la muestra y
  • Un nivel de confianza (por ejemplo \(80\)%, \(90\)%, \(95\)%, \(99\)%, etc.).

2.2. Contraste de hipótesis

• ¿Cuándo se plantea? Cuando el modelo cumple una “presunta” condición inicial, y hay serias sospechas de que ya no la cumple.
  • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{hipótesis nula (cierta hasta que se demuestre lo contrario)} \\ H_1: \ \text{hipótesis alternativa (falsa hasta que se demuestre lo contrario)} \end{array} \right.\)
• PROCEDIMIENTO DE CONTRASTE:
  1. Se plantea el contraste \(H_0\) vs \(H_1\), y se toma un nivel de significación \(\alpha\) pequeño (\(10\)%, \(5\)%, \(1\)%, etc.)
  2. Se toma la muestra
  3. Se calcula un estadístico “sensible a distinguir” \(H_0\) de \(H_1\)
  4. Se calcula el \(p\)-valor y la DECISIÓN ES:
     • RECHAZAR \(H_0\) (en favor de \(H_1\)) si \(p\)-valor \(< \alpha\)
     • ACEPTAR \(H_0\) (en detrimento de \(H_1\)) si \(p\)-valor \(> \alpha\)
  5. NUNCA SE SABRÁ CON SEGURIDAD SI \(H_0\) ES CIERTA O NO:
     • Error tipo I: rechazar \(H_0\) cuando es cierta (es el más grave).
     • Error tipo II: aceptar \(H_0\) cuando es falsa.
• OTRO PROCEDIMIENTO PARA CONTRASTAR EL VALOR DE UN PARÁMETRO: se calcula el intervalo de confianza de nivel de confianza \(1 - \alpha\) se ACEPTA \(H_0\) si el presunto valor del parámetro pertenece al intervalo de confianza

3 . Inferencia sobre la probabilidad de éxito \(p\) de una prueba de Bernoulli (o dos probabilidades de éxito \(p_1\) y \(p_2\) de dos pruebas de Bernoulli independientes)

• Ejemplos:
  • Estimar la proporción (o porcentaje a largo plazo) de efectividad de un tratamiento, de producción defectuosa, de favorables a una iniciativa, etc.
    • Una moneda se lanza \(100\) veces dando \(37\) caras. ¿Cuál es la probabilidad estimada de “cara”? ¿\(p\)?
    • Una producción es serie saca \(5\) defectusos de los últimos \(300\) producidos. ¿Cuál es la tasa estimada de unidades defectuosas? ¿\(p\)?
  • Contrastar si esa proporción puede ser o no un valor preconcebido.
    • Una moneda “presuntamente” equilibrada está bajo sospecha de trucaje: \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p=0.5 \\ H_1: \ p \neq 0.5 \end{array} \right.\)
    • Una producción es serie tiene una “presunta” tasa de defectos del \(1\)%, pero parace que se ha desajustado: \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p=0.1 \\ H_1: \ p>0.1 \end{array} \right.\)
  • Contrastar si un nuevo tratamiento mejora al actual tratamiento.
    • Un tratamiento nuevo dice ser más efectivo (cura más pacientes) que el actual. ¿Es eso verdad? Si \(p_A\) es la tasa de curación del tratamiento actual y \(p_N\) es la tasa de curación del tratamiento nuevo, \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_N = p_A \\ H_1: \ p_N > p_A \end{array} \right.\)
• Situación general:
  1. Un proceso de éxito/fracaso está caracterizado por la probabilidad (proporción, tasa o porcentaje) de éxito \(p\).
     • Inferencia “estimar”" dicha proporción
       • Con un valor concreto
       • Con un intervalo de confianza
     • Inferencia “contrastar” sobre dicha proporción:
       • si dicha proporción vale un “presunto” valor (es decir, \(p = p_0\)),
       • o bien si no lo es, con una de las tres opciones \(p \neq p_0\), \(p < p_0\) o \(p > p_0\).
       • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p \neq p_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p < p_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p > p_0 \end{array} \right.\)
  2. Dos procesos (independientes) de éxito/fracaso están caracterizados por sus probabilidades (proporciones, tasas o porcentajes) de éxito \(p_1\) y \(p_2\).
     • Inferencia 1: estimar dichas proporciones
       • Con dos valores concretos respectivos
       • Con un intervalo de confianza para la diferencia \(p_1 - p_2\).
     • Inferencia 2: contrastar si
       • Ambas probabilidades coinciden (es decir, \(p_1 = p_2\)).
       • o bien si no coinciden, con una de las tres opciones \(p_1 \neq p_2\), \(p_1 < p_2\) o \(p_1 > p_2\).
       • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 \neq p_2 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 < p_2 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 > p_2 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN prop.test(x, n, p, alternative, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: número de éxitos de la muestra (o vector con los dos números de éxitos de las dos muestras)
    • n: tamaño de la muestra (o vector con los dos tamaños de las dos muestras)
    • p: sólo si se hace el contraste:
      • para una sola muestra, “presunto” valor de \(p\), es decir, \(p_0\) (vale \(0.5\) por defecto)
      • para dos muestras, dejar su valor por defecto (NULL) para contrastar la igualdad de las dos proporciones.
    • alternative: sólo si se hace el contraste. Dirección de \(H_1\). Por defecto vale "two-sided" (para \(\neq\)), pero se debe cambiar a "greater" (si es \(>\)) o a "less" (si es \(<\)).
    • conf.level: Nivel de confianza. Sólo si se pide el intervalo de confianza. Su valor por defecto es 0.95.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • sample estimates: la estimación puntual de la \(p\) si es una muestra (o de \(p_1\) y \(p_2\) si son dos muestras).
    • confidence interval: el intervalo de confianza para la \(p\) (si es una muestra), o para la diferencia \(p_1 - p_2\) (si son dos muestras).
    • p-value: el \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

EJERCICIO 1: Un alumno quiere valorar su tasa de éxito en preguntas de Estadística. Para ello coge problemas al azar de un libro, y los resuelve, de modo que al final de la sesión, ha resuelto correctamente \(19\) de los \(30\) problemas atacados.

• Calcula la estimación puntual de la “probabilidad de resolver correctamente un problema” de este alumno.
  • Sol.: \(0.6333333\)
• Calcula un intervalo de confianza para dicha probabilidad, usando un nivel del confianza del \(90\)%.
  • Sol.: \(p \in [0.4668433, 0.7753366]\) con una confianza del \(90\)%
• El alumno quiere demostrar que su eficacia de resolver problemas es superior al 50%. ¿Que dicen los datos si quiere una significación del \(5\)%?
  • Sol.: Quiere demostrar \(H_1: \ p > 0.5\), y el contraste devuelve un \(p\)-valor = \(0.1006\). Como \(p\)-valor \(>\) \(\alpha\), entonces debe aceptar \(H_0\), por lo que no demuestra su eficacia superior al \(50\)%.

FIN EJERCICIO 1

4. Inferencia sobre la media \(\mu\) de un modelo normal (o de cualquier modelo si la muestra es grande), o bien sobre la comparación de dos medias \(\mu_1\) y \(\mu_2\) de dos modelos normales (o de cualesquier modelos si las muestras son grandes)

• Ejemplos:
  • Analizar si está bien calibrada una máquina, por ejemplo, que dispensa 1500 cc de agua en botellas de agua mineral:
    • \(H_0: \ \mu = 1500\) (bien calibrada)
    • \(H_1: \ \mu \neq 1500\) (mal calibrada)
  • Ver si un nuevo algoritmo \(X\) es más rápido que otro \(Y\)
    • \(H_0: \ \mu_X = \mu_Y\) (mismo tiempo medio)
    • \(H_1: \ \mu_X < \mu_Y\) (menos tiempo medio el nuevo)
• Situación general:
  • Un proceso modelizado por una variable normal \(X\) (o de cualquier tipo si la muestra es grande) de media desconocida.
    • Inferencia “estimar” dicha media
      • Con un valor concreto
      • Con un intervalo de confianza
    • Inferencia “contrastar” sobre dicha media:
      • si dicha media vale un “presunto” valor (es decir \(\mu=\mu_0\)),
      • o bien si no lo es, con una de las tres opciones \(\mu \neq \mu_0\), \(\mu < \mu_0\) o \(\mu > \mu_0\).
      • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu \neq \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu < \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu > \mu_0 \end{array} \right.\)
  • Dos procesos modelizados por sendas variables normales \(X\) e \(Y\) (o de cualquier tipo si las muestras son grandes), y cuyos datos son independientes entre sí o pueden estar emparejados por el muestreo.
    • Inferencia 1: estimar dichas medias
      • Con un valor concreto para cada una, si son muestras independientes.
      • Con un valor de “diferencia” entre ambas, si son muestras emparejadas.
      • Con un intervalo de confianza para la diferencia de las medias \(\mu_1 - \mu_2\) (en ambos casos)
    • Inferencia 2: contrastar si:
      • ambas medias coinciden (\(\mu_X = \mu_Y\))
      • o bien no coinciden, con una de las tres opciones \(\mu_X \neq \mu_Y\), \(\mu_X < \mu_Y\) o bien \(\mu_X > \mu_Y\)).
      • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X \neq \mu_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X < \mu_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X > \mu_Y \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN t.test(x, y, alternative, mu, paired, var.equal, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la primera muestra.
    • y: datos de la segunda muestra (si hay dos).
    • alternative: sólo si se hace el contraste. Dirección de \(H_1\). Por defecto vale "two-sided" (para \(\neq\)), pero se debe cambiar a "greater" (si es \(>\)) o a "less" (si es \(<\)).
    • mu: sólo si se hace el contraste:
      • para una sola muestra, “presunto” valor de \(\mu\)
      • para dos muestras, dejar su valor por defecto (0) para contrastar la igualdad de las dos medias, o cambiar si se presume una diferencia concreta distinta de \(0\).
    • paired: sólo para dos muestras. ¿Son datos emparejados por la forma de muestrear? Dejar por defecto (FALSE) si son independientes, y cambiar a TRUE si están emparejadas.
    • var.equal: sólo para dos muestras. ¿Se pueden considerar iguales las varianzas (poblacionales) de las dos muestras? Dejar por defecto (FALSE) si no se tienen indicios de lo contrario.
    • conf.level: Nivel de confianza. Sólo si se pide el intervalo de confianza. Su valor por defecto es 0.95.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • sample estimates: la estimación puntual de la \(\mu\) (si es una muestra), de \(\mu_1\) y \(\mu_2\) (si son dos muestras independientes) o de la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\) si son dos muestras emparejadas.
    • confidence interval: el intervalo de confianza para la \(\mu\) (si es una muestra), para la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\) si son dos muestras emparejadas), o para las .
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

EJERCICIO 2: Para comparar la rapidez de dos operarios, se propone 10 tareas distintas, las mismas para ambos, y se registra el tiempo de cada uno en cada tarea.

Oper. / Trab.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	5.05	5.1	5.21	4.98	4.58	4.94	5.1	5.15	5.46	5.11
B	4.68	4.92	5.22	5.07	5.24	4.89	4.83	5.11	5.13	4.87

• Calcula el intervalo de confianza para el tiempo medio de cada uno, usando un nivel de confianza del \(99\)%.
  • Sol.: \([4.8389794, 5.2970206]\) para A, y \([4.8063675, 5.1856325]\) para B.
• Asumiendo un nivel de significación del \(3\)%, ¿los datos demuestran alguna diferencia significativa en la velocidad de ambos operarios?
  • Sol.: Sale un \(p\)-valor = \(0.4658923 > 0.03\), que conduce a aceptar \(H_0\), por lo que no existen diferencias significativas.
• ¿Cómo quedaría el apartado anterior si los datos de la tabla fueran de 20 tareas distintas, asignando 10 a un operario y otras 10 a otro?
  • Sol.: Saldría un \(p\)-valor = \(0.4419082 > 0.03\), que conduce a aceptar \(H_0\), por lo que no existen diferencias significativas.

FIN EJERCICIO 2

5. Inferencia sobre la igualdad de varianzas de dos poblaciones normales

• Ejemplo: es conocido que la media de alturas en las poblaciones de hombres y muejres es distinta. ¿Lo es también la dispersión?
• Situación general:
  • Dos procesos modelizados por sendas variables continuas normales \(X\) e \(Y\) con varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) respectivas.
  • Inferencia “estimar” el cociente de ambas varianzas
    • Con un valor concreto.
    • Con un intervalo de confianza
  • Inferencia “contrastar” sobre el cociente de ambas varianzas:
    • si dicho cociente vale un “presunto” valor (normalmente \(1\), que sería la igualdad de ambas varianzas)
    • o bien si no lo vale.
    • Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X \neq \sigma^2_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X < \sigma^2_Y \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X > \sigma^2_Y \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN var.test(x, y, ratio, alternative, mu, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la primera muestra.
    • y: datos de la segunda muestra (si hay).
    • ratio: sólo si se hace el contraste. “Presunto” cociente de varianzas. Por defecto vale \(1\), y sirve para contrastar que sean iguales.
    • alternative: sólo si se hace el contraste. Dirección de \(H_1\). Por defecto vale "two-sided" (para \(\neq\)), pero se debe cambiar a "greater" (si es \(>\)) o a "less" (si es \(<\)).
    • conf.level: Nivel de confianza. Sólo si se pide el intervalo de confianza. Su valor por defecto es 0.95.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • sample estimates: las estimaciones puntuales.
    • confidence interval: el intervalo de confianza.
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

6. Un contraste de normalidad

• Si la muestra es pequeña, sólo podemos usar inferencia sobre la media cuando podamos creer que los datos vienen de un modelo normal
• Hay muchos contrastes que ayudan a decidir si una muestra es compatible con el modelo normal
  • El contraste es \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra viene de un modelo normal} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• Los contrastes no son infalibles (y mucho menos para muestras pequeñas), por lo que hay que ser precavidos con esto.
• Uno de los muchos contrastes de normalidad implementados en R, es el de Shapiro-Wilks.
• FUNCIÓN shapiro.test(x):
  • Argumentos:
    • x: datos de muestra
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

7. El contraste (no paramétrico) Ji-cuadrado de Pearson sobre la bondad de ajuste

• Ejemplo: un dado se usa para un juego de azar, y se sospecha que no está equilibrado, ¿cómo ponerlo a prueba?
• Situación general:
  • Podemos escribir el “presunto modelo” en forma de tabla de probabilidades (ver tabla más abajo)
  • Podemos obtener una muestra y reprensentarla en tabla de frecuencias
  • Inferencia: contrastar si la muestra es compatible con el modelo (es decir, la tabla de probabilidades)

El “presunto” modelo
.	\(X\)	\(x_1\)	\(x_2\)	…	\(x_k\)
.	\(f(x)\)	\(p_1\)	\(p_2\)	…	\(p_k\)

La muestra obtenida
.	\(x_i\)	\(x_1\)	\(x_2\)	…	\(x_k\)
.	\(n_i\)	\(n_1\)	\(n_2\)	…	\(n_k\)

• Si se sospecha que el proceso ya no sigue el “presunto” modelo, y se quiere poner a prueba, se plantea el contraste:
  • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra se ajusta al "presunto" modelo} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, p)
  • Argumentos:
    • x: vector de las frecuencias absolutas de la muestra (suele ser el resultado de table() o bien directamente le vector c(\(n_1\) , \(n_2\) , \(\ldots\) , \(n_k\) ))
    • p: vector de probabilidades de la tabla, es decir c(\(p_1\) , \(p_2\) , \(\ldots\) , \(p_k\) ). Por defecto son todos iguales
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de aviso si se está usando indebidamente el contraste.

EJERCICIO 3: Una muestra presenta los valores \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\) con frecuencias respectivas \(15\), \(35\), \(28\) y \(19\). Se presume que el modelo viene dado por las probabilidades \(P(X=0) = 0.2\), \(P(X=1) = 0.3\), \(P(X=2) = 0.3\), \(P(X=3) = 0.2\). ¿La muestra es compatible con dicho modelo usando una significación del \(10\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.5233365 > 0.1\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con el modelo.

FIN EJERCICIO 3

8. El contraste (no paramétrico) Ji-cuadrado de Pearson sobre la independiencia de dos variables cualitativas

• Ejemplo: ¿es independiente el sexo de la lateralidad (uso de una mano u otra)? Si alguien piensa que no, ¿cómo ponerlo a prueba?
• Situación general:
  • Se observan conjuntamente dos variables \(X\) e \(Y\) cualitativas.
  • Se puede disponer de las dos columnas de datos \((X,Y)\) o bien de la tabla de frecuencias conjuntas de ambas.
  • Inferencia: contrastar si \(X\) e \(Y\) son independientes
    • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ X \text{ e } Y \text{ son independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, y)
  • Argumentos:
    • x: vector con los datos de \(X\), o bien matriz con la tabla de frecuencias conjuntas (que puede obtenerse a partir de table() sobre los datos originales, o bien escribirse directamente usando matrix(...)).
    • y: vector con los datos de \(Y\), o nada, si ya está todo en x.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de aviso si no se cumplen ciertas condiciones técnicas para usarlo.
• Recordatorio: para definir una matriz en R, se incluye el siguiente ejemplo:
  • \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)
  • matrix(data=c(1,2,3,4,5,6), ncol=3, byrow=TRUE)
  • se indican las entradas de la matriz, el número de columnas que tendrá, y si se quieren poner por filas.

EJERCICIO 4: Una muestra contiene \(82\) hombres diestros, \(8\) hombres zurdos, \(59\) mujeres diestras y \(11\) mujeres zurdas. ¿La muestra es compatible con que la lateralidad es independiente del sexo, usando una significación del \(5\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.281197 > 0.05\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con que sean independientes.

FIN EJERCICIO 4:

9. Ejercicios preparatorios extra

• EJERCICIO 1
  • 1.1. La variable x1 contiene datos que supondremos de una normal de media \(\mu\) desconocida.
    • 1. Calcula la media de la muestra.
    • 2. Realiza inferencia sobre la verdadera \(\mu\) del modelo que ha generado los datos.
      • (b1) Estimación puntual de la media.
      • (b2) Intervalo de confianza al 90% para la verdadera media \(\mu\).
      • (b3) ¿Se puede admitir que la media es 5 con una significación del 10% contra que la media no es 5? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu \neq 5 \end{array} \right.\)
      • (b4) ¿Se puede admitir que la media es 5 con una significación del 10% contra que la media es mayor que 5? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu > 5 \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(5.192\), (b1) \(5.192\), (b2) \([4.986376, 5.397624]\), (b3) p-valor = \(0.1232332\) > 0.1 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu=5\) por lo que la respuesta es SÍ. (b4) p-valor = \(0.0616166\) < 0.1 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: \mu=5\) en favor de \(H_1: \mu > 5\), por lo que la respuesta es NO.
  • 1.2. Los datos de la variables x2 y x3 recogen los tiempos de entrenamiento de 2 atletas.
    • 1. Calcula el tiempo medio de cada atleta.
    • 2. Si suponemos que los tiempos de los dos atletas siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que tienen la misma media desconocida usando una significación del 1%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X \neq \mu_Y \end{array} \right.\)
    • 3. Calcula el intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias usando un nivel de confianza del 90%.
    • Sol.: (a) \(10.197\) y \(10.119\) resp., (b) p-valor = \(0.0205365\) > 0.01 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_X = \mu_Y\), por lo que la respuesta es SÍ, (c) \([0.0247966, 0.1312034]\).
  • 1.3. La hoja de datos x4 recoge los tiempos de dos operarios en realizar una serie de tareas (las mismas tareas para cada uno).
    • 1. Calcula el tiempo medio por tarea de cada operario.
    • 2. Si suponemos que los tiempos siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que ambos operarios son igual de eficientes (misma media desconocida) usando una significación del 5%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_X = \mu_Y \\ H_1: \ \mu_X \neq \mu_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(79.31\) y \(79.7\) resp., (b) p-valor = \(0.8680351\) > 0.05 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_X = \mu_Y\) por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 2
  • Contrasta si se puede aceptar o no que las varianzas (desconocidas) de los tiempos de los atletas son iguales usando una significación del 10%. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_X = \sigma^2_Y \\ H_1: \ \sigma^2_X \neq \sigma^2_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: p-valor = \(0.6484925\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0\) (igualdad de varianzas), por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 3
  • 3.1. Un alumno se quiere presentar a las elecciones de delegado de curso si puede aceptar que va a tener un % de voto superior al 33%. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p \leq 0.33 \\ H_1: \ p > 0.33 \end{array} \right.\). Para ello pregunta a 13 compañeros, entre los que 9 declaran que le votarían. ¿Qué decisión debería tomar si asume una significación del 10%?
    • Sol.: p-valor = \(0.0065099\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZARÍA \(H_0: p \leq 0.33\) (sale un aviso de aproximación que puede ser incorrecta), por lo que creería en \(H_1: p>0.33\), y la respuesta es que SÍ se presentaría (pero con reparos por el warning).
  • 3.2. Se quiere comparar la eficacia de dos tratamientos. Uno de ellos se aplica a un grupo de 25 personas de las que 14 mejoran. El otro se aplica a un grupo de 33 personas de las que sólo 11 mejoran.
    • 1. Calcula el porcentaje de éxito de cada tratamiento.
    • 2. Calcula un intervalo de confianza para cada \(p\) usando un nivel de confianza del 90%.
    • 3. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_X = p_Y \\ H_1: \ p_X \neq p_Y \end{array} \right.\)
    • 4. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10% contra la hipótesis de que el primero es mejor que el segundo. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_X = p_Y \\ H_1: \ p_X > p_Y \end{array} \right.\)
    • Sol.: (a) \(56\)% y \(33.3333333\)% resp., (b) \([0.3802979, 0.7266203]\) y \([0.203008, 0.4916309]\) resp., (c) p-valor = \(0.1446929\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: p_X = p_Y\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es SÍ, (d) p-valor = \(0.0723464\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: p_X = p_Y\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 4
  • Contrasta si se ha hecho bien en el ejercicio 1.1. al asumir que los datos de la variable x1 venían de una normal usando una significación del 10%.
    • Sol: p-valor = \(0.0874044\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo normal), por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 5
  • Contrasta si se puede aceptar que el número de respuestas correctas de alumnos a un examen tipo test de 5 preguntas sigue el modelo binomial de \(n = 5\) y \(p = 0.5\), usando una significación del 10%, y donde los datos están en el vector x5. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{muestra viene de Bin(5, 0.5)} \\ H_1: \ \text{no } H_0 \end{array} \right.\)
    • Ayuda: dbinom(...) para obtener las probabilidades del modelo binomial y poder ponerlo en forma de tabla.
    • Sol.: p-valor = \(0.0886439\) < 0.10 (\(\alpha\)) por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo binomial del enunciado), por lo que la respuesta es NO. Ojo al aviso de aproximación incorrecta.
• EJERCICIO 6
  • Según la muestra de la encuesta realizada al inicio de curso (varaible x), contrasta si se puede aceptar que las variables sobre internet en el móvil y el sistema operativo en PC son independientes, usando un nivel de significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} \text{'internet' y 'so_pc' independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
    • Sol.: p-valor = \(0.7670897\) > 0.10 (\(\alpha\)) por tanto ACEPTAMOS \(H_0:\) (independientes), por lo que la respuesta es SÍ.