Un examen minuciós dels objectes que presenten simetries, però, ens porta a la conclusió que tal simetria no existeix sinó de forma aproximada. Ès la nostra idealització (simplificació) dels objectes la que ens fa descobrir la simetria What an imperfect word it would be if every symmetry was perfect (B.G. Wybourne, Rept. Math. Phys. 34 (1994) 9.)

Però, què és una simetria? Direm que un sistema físic té una simetria si en realitzar un determinat canvi no es produeix cap efecte mesurable en l'esmentat sistema. Per exemple, si mirem una esfera, tanquem el ulls i els tornem a obrir, cap experiment o mesura posterior no ens pot dir si hi ha hagut cap rotació.

Hi ha simetries que s'ajusten a la definició anterior i no són simetries espacials. Per exemple una permutació. Hi ha simetries encara menys òbvies. Cal emfasitzar que tant en física com en química qualsevol simetria va necessàriament associada amb un experiment impossible. Si l'experiment es realitza, aleshores, la simetria no existeix. L'existència de simetria és sempre una afirmació provisional que únicament pot establir-se experimentalment.

La simetria és també una guia en la recerca. Cap a 1850 J.C. Maxwell tractà d'unificar el camp elèctric i magnètic en un únic sistema d'equacions i observà que hi havia certa asimetria. La llei de Faraday d'inducció diu que en una regió de l'espai on el flux magnètic varia amb el tems apareix un camp elèctric. No hi havia, però, l'equació recíproca. Maxwell introduí el concepte de corrent de desplaçament i demostrà que un camp elèctric variable pot generar un camp magnètic. Més tard, Lorentz i Poincaré investigaren la simetria de les equacions de Maxwell i descobriren que eren invariants enfront de rotacions que mesclaven espai i temps (!). Va caldre Einstein per a compendre les subtils rotacions de Lorentz i Poincaré. No eren matemàtica abstracta, eren la base d'una nova teoria. La teoria de la relativitat, on, per a velocitats elevades, l'espai i el temps es distorsionen d'una forma simètrica, d'acord amb les subtils rotacions de Lorentz i Poincaré.

Al curs de Teoria de Grups de Simetria s'hi pretén mostrar com les condicions de simetria molecular poden suposar una simplificació dràstica a l'hora de resoldre molts problemes de la física i de la química. Tots els problemes que nosaltres considerarem poden resoldre's mitjançant l'ús de la força bruta. Tanmateix, l'ús de la simetria és, sens dubte, molt més econòmic i elegant.

Començarem amb la introducció dels elements i les operacions de simetria tractant d'evitar la confusió entre ambdós conceptes. Després de familiaritzar- nos amb els elements de simetria i de desplegar certa habilitat per trobar eixos de rotació impropis, comprovarem que, en contra del que es podria pensar, hi ha un nombre relativament reduït de possibilitats a l'hora de classificar molècules per la seua simetria puntual. Definirem l'operació aplicació consecutiva d'operacions de simetria com el producte de les operacions de simetria, comprovarem que les esmentades col·leccions d'operacions de simetria, juntament amb aquesta llei de multiplicar, tenen estructura matemàtica de grup. Proporcionarem el diagrama de flux per a la determinació del grup puntual a què pertany una molècula qualsevol i n'exemplificarem l'ús.

L'estructura de grup queda plasmada a la taula de multiplicar del grup. Construirem taules de multiplicar de diversos grups de naturalesa molt distinta. Una vegada construïdes taules de multiplicar comprovarem que els elements d'alguns grups, tot i que no tenen cap relació, presenten, tanmateix, idèntica taula de multiplicar. Parlarem d'isomorfismes i, en general, d'homomorfismes entre grups.

La teoria de representacions de grups (les seues implicacions i propietats) constitueix, sens cap dubte, la part més important de la teoria de grups per a un físic o un químic. Farem sorgir de manera natural tots els conceptes de la teoria de representacions mitjançant el desenvolupament d'una sèrie d'exemples acuradament escollits, deixant l'ordenació i formalització dels conceptes apareguts per a una secció posterior. Acabarem aquesta secció exemplificant l'acció d'operacions de simetria sobre funcions. Donarem resposta a preguntyes com ara: com fer una rotació de 25 graus a la funció senus?

Una de les aplicacions més remarcables (i útils) de la teoria de grups de simetria i les seues representacions lineals consisteix a predir si una integral és zero o no, sense haver de fer-ne, per a això, l'avaluació. Estudiarem aquest problema i les seues aplicacions químico-físiques. Amb aquest bagatge de teoria de grups serà elemental l'obtenció de les regles de selecció espectroscòpiques.

L'expressió dels operadors de projecció sobre espais base de representacions irreduïbles serà objecte d'una altra secció, on es proposarà també la realització d'una extensa aplicació d'aquests operadors al càlcul d'orbitals híbrids i d'orbitals moleculars.

L'estudi del grup simètric serà introductori. A continuació presentarem la doble partició dels espais vectorials potència tensorial d'espais base de representacions irreduïbles, realitzada per la simetria puntual i la simetria permutacional dels elements del producte. En mostrarem algunes de les seues aplicacions. Hi haurà una secció dedicada a la introducció elemental als grups continus de la línia i de l'esfera i les seues aplicacions elementals en química i física.

Introduirem el grup doble fent notar que certes funcions no tornen al seu estat original després d'efectuar una rotació de 2 pi radians al voltant de qualsevol eix. Observarem que aquest és el cas de les funcions de moment angular fraccionari. A continuació, i amb l'ajuda del grup doble del de l'esfera, calcularem els termes espectroscòpics, tant en l'esquema d'acoblament de Russell-Saunders, com en el d'interacció spin- òrbita fort o acoblament j-j.

L'estudi del desdoblament de les representacions irreduïbles d'un grup com a conseqüència de la reducció de simetria i el pas al corresponent subgrup de simetria, es realitzarà en una altra secció, on, després d'introduir el problema, es presentaran les taules de resolució de representacions irreduïbles de grups puntuals descompostes com combinació lineal de representacions irreduïbles de subgrups de simetria. Amb l'ajuda d'aquestes taules serà elemental trobar el desdoblament d'estats degenerats causat per camps elèctrics (camp cristalálí), magnètics, etc.

1. Introducció a la simetria puntual. 1.1. Elements i operacions de simetria. 1.2. Aplicacions immediates: activitat òptica, moments dipolars.

2. Classificació de molècules segons la seva simetria.

3. Estructura analítica dels grups de simetria. 3.1. Definició de grup. 3.2. Taula de multiplicar del grup. 3.3. Grups isomòrfics i homomòrfics. 3.4. Elements conjugats i classes.

4. Representacions lineals de grups. 4.1. Introducció al concepte de representació. Exemples. 4.2. Espais de funcions com base de representació. 4.3. Representació de grups. Formalització. 4.4. Representacions equivalents. Representacions unitàries. 4.5. Caràcter. Representacions reduïbles i irreduïbles.

5. Teoremes. 5.1. Teorema de la gran ortogonalitat. 5.2. Relació d'ortogonalitat de caràcters. Nombre de representacions irreduïbles d'un grup. 5.3. Descomposició d'una representació reduïble. 5.4. Taules de caràcters. 5.5. Notació de Mulliken de les representacions irreduïbles. 5.6. Moviments nuclears com base de representació. Modes normals. 5.7. Producte de representacions. 5.8. Usos de les taules de caràcters: integrals que s'anul.len. 5.9 Aplicació del producte directe a l'obtenció de regles de selecció.

6. Desenvolupament de funcions en termes de bases de representacions irreduïbles. 6.1. Operadors de projecció i intercanvi. 6.2. Aplicació al càlcul d'orbitals híbrids. 6.3. Aplicació al càlcul d'orbitals moleculars.

7. Grup simètric Sn. 7.1. Permutacions. 7.2 Classes. 7.3. Diagrames de Young. 7.4. Taules de caràcters. 7.5. Producte de representacions irreduïbles de Sn. 7.6. Funcions d'spin com a base de representacions del grup Sn. 7.7. Reducció de simetria. 7.8. Productes externs.

8. Potències de representacions irreduïbles. 8.1. Segona potència. Parts simètrica i antisimètrica. 8.2. Potències superiors de representacions irreduïbles.

9. Grups de Lie. 9.1. Grup de la línia. Grup SO(2). Generador infinitesimal. 9.2. Grup de simetria del CO2. 9.3. Grup K. Angles d'Euler. Rotacions infinitesimals. Generadors. 9.4. Producte directe. Sèrie de Clebsh-Gordan. 9.5. El grup Kh (O3).

10. Funcions de moment angular fraccionari. Grups dobles.

11. Reducció de simetria.

12. Altres aplicacions de la teoria de representacions lineals de grups en química física, orgànica i inorgànica . 12.1.Termes electrònics. 12.2.Diagrames de Tanabe-Sugano. 12.3.Estudi de complexes. 12.4.Reaccions de cicle-adició. 12.5.Efecte Jahn-Teller.