x (text pla) representa un escalar

u_i (en negreta) representa un vector unitari en la direcció ¶ r/¶ i

¶ r/¶ x = h_x u_x = i

¶ r/¶ y = h_y u_y = j

¶ r/¶ z = h_z u_z = k

dr = (¶ r/¶ x) dx + (¶ r/¶ y) dy + (¶ r/¶ z) dz = dx i +dy j +dz k

dv = dx i (dy j Ù dz k) = dx dy dz i (j Ù k) = dx dy dz

Perquè: i (j Ù k) =1

r = r sin q cos f i + r sin q sin f j + r cos q k

¶ r/¶ r = h_r u_r = sin q cos f i + sin q sin f j + cos q k = u_r

¶ r/¶ q = h_q u_q = r [cos q cos f i + cos q sin f j - sin q k] = r u_q

¶ r/¶ f = h_f u_f = r sin q [- sin f i + cos f j] = r sin q u_f

dr =(¶ r/¶ r) dr + (¶ r/¶ q) dq + (¶ r/¶ f) df = dr u_r + r dq u_q + r sin q df u_f

dv = r² sin q dr dq df u_r (u_q Ù u_f) = r² sin q dr dq df

u_r (u_q Ù u_f) = (sin q cos f i + sin q sin f j + cos q k) ( (cos q cos f i + cos q sin f j - sin q k) Ù (- sin f i + cos f j)) = 1.