Pràctica 5: El model ANOVA (ANalysis Of VAriance)

1. Exemple motivador

EXEMPLE 1: Tres treballadors d’una cadena de muntatge van a comparar la seua efectivitat. S’arreplega el temps que tarda cada treballador en realitzar la seua tasca sobre les següents 10 unitats que pasen pel seu punt de la cadena.

A = c(4.44, 4.77, 6.56, 5.07, 5.13, 6.72, 5.46, 3.73, 4.31, 4.55)
B = c(6.22, 5.36, 5.40, 5.11, 4.44, 6.79, 5.50, 3.03, 5.70, 4.53)
C = c(3.93, 4.78, 3.97, 4.27, 4.37, 3.31, 5.84, 5.15, 3.86, 6.25)

Hem de decidir si hi ha algún treballador “més ràpid” o no. Per a açò valorem a cada ú amb el seu temps mitjà:

Treballador	Temps mitjà
A	5.074
B	5.208
C	4.573

Per tant, el més ràpid ha estat el C.

Comparem gràficament els temps de cada treballador (dibuixem núvol de punts i diagrama de caixa superposats):

Es veu que els temps de cada treballador fluctuen, cadascun al voltant de la seua mitjana.

PREGUNTA: Si tornàrem a mesurar els temps dels treballadors sobre les 10 pròximes unitats:
- Donarien exactament els mateixos temps? Perquè?
- Per qui apostaries que seria més ràpid en mitjana? Perquè?
- Quant confiaries en la teua aposta? Perquè?

FIN EXEMPLE 1

EXEMPLE 2: Mateixa situació que a l’Exemple 1, pero amb altres tres treballadors distints.

D = c(5.01, 5.04, 5.22, 5.07, 5.08, 5.24, 5.11, 4.94, 5.00, 5.02)
E = c(5.18, 5.09, 5.09, 5.06, 5.00, 5.23, 5.10, 4.86, 5.12, 5.01)
F = c(4.51, 4.59, 4.51, 4.54, 4.55, 4.45, 4.70, 4.63, 4.50, 4.74)

De nou comparem la seua rapidessa usant els temps mitjans:

Treballador	Temps mitjà
D	5.073
E	5.074
F	4.572

Per tant, el més ràpid ha estat el F.

Vegem ara les fluctuacions dels temps de cadacun al diagrama de caixa:

PREGUNTA: Si tornàrem a mesurar els temps dels treballadors sobre les 10 pròximes unitats:
- Donarien exactament els mateixos temps? Perquè?
- Per qui apostaries que seria més ràpid en mitjana? Perquè?
- Quant confiaries en la teua aposta? Perquè?

FIN EXEMPLE 2

CONCLUSIÓ: ES BUSCA TÈCNICA “OBJECTIVA” (JUSTIFICADA ESTADÍSTICAMENT) QUE PERMETA COMPARAR I DECIDIR SOBRE SI ELS PROMEDIS DE MÉS DE 2 POBLACIONS SÓN SIGNIFICATIVAMENT DISTINTS O NO (A PARTIR D’OBSERVAR MOSTRES D’ELLES). ÉS A DIR, QUE PERMETA DECIDIR ENTRE:

\(H_0\): \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3\) (todas les mitjanes iguals)
\(H_1\): no \(H_0\) (alguna mitjana distinta)

2. El model ANOVA d’un factor

El model ANOVA d’un factor involucra:

Una variable de gran interés, \(Y\), numèrica.
Un factor \(X\) amb valors (nivells) \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_a\) (\(a\) = nombre de nivells).
Uns paràmetres \(\mu_1, \ldots, \mu_a\) (un per cada nivell del factor \(X\)) i altre paràmetre \(\sigma^2 > 0\)
Quan \(X=x_i\), aleshores \(Y \sim \text{N}(\mu_i, \sigma^2)\).
Un exemple de mostra: \(\begin{array}{c|cccc} X & Y & & & \\ \hline x_1 & y_{11} & y_{12} & \cdots & y_{1n_1} \\ x_2 & y_{21} & y_{22} & \cdots & y_{2n_2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_a & y_{a1} & y_{a2} & \cdots & y_{an_a} \end{array}\),
- on per a cada nivell \(x_i\) de \(X\), s’han mostrejat \(n_i\) valors de \(Y\), és a dir, \(y_{i1}\), \(y_{i2}, \ldots,\) \(y_{in_i}\)
Aleshores \(y_{ij} = \mu_i + e_{ij}\) on:
- \(\mu_i\) és el valor mitjà provocat pel nivell \(x_i\) del factor \(X\)
- \(e_{ij}\) és l’error aleatori normal de mitjana \(0\) i variància \(\sigma^2\), que és independent a cada mostreig, tant de \(x_i\) com d’altres \(e_{ij}\) anteriors.

En l’exemple dels treballadors:

La variable d’interés és \(Y\) = “tiempo de tarea”.
El factor que pot influir sobre el temps és \(X\) = “treballador que fa la tasca”.
- Té 3 nivells, “A”, “B” i “C”.
Desconeixem si el temps de cada treballador segueix el model normal, pero podem suposar-lo, i després ja veurem si açò és compatible amb els resultats.
Desconeixem si els 10 temps de cada treballador són independents entre sí, e independients dels temps dels altres treballadors, però podem suposar-lo, i després ja veurem si açò és compatible amb els resultats.

3. Objetius de l’ANOVA

OBJECTIU 1:
- Decidir si la mitjana de \(Y\) depén del nivell del factor \(X\) o no. És a decir, resoldre el contrast:
  - \(H_0\): \(\mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_a\) (totes les mitjanes iguals)
  - \(H_1\): no \(H_0\) (alguna mitjana distinta)
- Atenció a la interpretació:
  - Acceptar \(H_0\) és admetre que totes les mitjanes són iguals. Per tant el valor de \(X\) no influeix sobre el valor de \(Y\). Per tant \(Y\) no depén de \(X\).
  - Rebutjar \(H_0\) és admetre que alguna mitjana és distinta. Per tant el valor de \(X\) sí influeix sobre el valor de \(Y\). Per tant \(Y\) sí depén de \(X\).
OBJECTIU 2:
- En cas de rebutjar \(H_0\), \(Y\) dependrá de \(X\), i per tant interessa saber quins nivells de \(X\) són millors per a obtindre un valor mitjà de \(Y\) major. Per tant fer un rànking dels nivells de \(X\) segons el valor mitjà que aporten a la \(Y\)
  - Comparaciones a posteriori. Hay muchos mètodes. Usamos el LSD de Fisher.
  - Se codifican els nivells de \(X\) amb letras (a, b,…) que ayudan a detectar si les diferències entre nivells són estadísticamente significativas o no

4. El model ANOVA d’un factor amb R

4.1. Les dades

Les dades han de ser en dues variables (una per \(Y\) i altra per \(X\)). Poden ser:
- Dues columnes d’un mateix full de dades
- Dos vectors solts
De vegades hi ha diversos vectors amb dades de \(Y\), un vector “per cada nivell” del factor \(X\). En eixe cas cal construir dos vectors (ú per a totes les \(Y\)’s i altre per a totes les \(X\)’s):
- El vector amb totes les dades de \(Y\): concatenar tots els vectors de dades
- El vector amb totes les dades de \(X\): repetir “cada nivell” de \(X\) (número o paraula) tantes vegades com dades de \(Y\) associades a eixe nivell, i concatenar totes a la fi

4.2. La taula ANOVA i la decisió del contrast

És una taula que ajuda a calcular l’estadístic \(F\) i el seu \(p\)-valor per a decidir el contrast d’igualtat de mitjanes.
S’aconsegueix en dos pasos: primer aov() i després summary()
Funció aov( formula, data,... ):
- Arguments:
  - formula: expressió de la forma y ~ x, que indica quin vector o columna fa de \(Y\) (la y) i quin fa de \(X\) (la x). El símbol ~ només serveix per a indicar que el símbol de l’esquerra és la variable dependent, i el de la dreta és el factor.
  - data: si les dades estan en dos vectors solts, no utilitzar. Si les dades están en dues columnes d’un full de dades, ficar el nom del full de dades.
- Torna: un objecte tipus llista, i per pantalla, les sumes de quadrats (inter i intra) i els seus graus de llibertat, ademés de l’estimació (no esbiaixada) de \(\sigma\)
Funció summary(object):
- Argument: object, l’objecte tornat per aov()
- Torna: una llista amb una component en forma de full de dades, que conté la taula ANOVA, amb els grados de libertad (Df), les sumes de quadrats (Sum Sq) inter (amb el nom del factor) i intra (amb el nom Residuals), les mitjanes de quadrats (Mean Sq), el valor de l’estadístic de contrast (F), i el seu \(p\)-valor (Pr(>F)). Si es vol accedir al \(p\)-valor exacte, ficar summary(object)[[1]][1,5]
Decisió del contrast:
- “Rebutjar \(H_0\) si \(p\)-valor \(< \alpha\)”
- Recorda:
  - Acceptar \(H_0\) significa…
    - Acceptar \(\mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_a\), que és el mateix que
    - Acceptar que \(Y\) es comporta igual, siga quin siga el valor de \(X\), que és el mateix que
    - Acceptar que \(Y\) NO depén del factor \(X\), que és el mateix que
    - Acceptar que \(X\) no exerceix cap influència sobre \(Y\).
  - Rebutjar \(H_0\) significa…
    - El contrari de tot l’anterior
    - En aquest cas es motiva continuar l’anàlisi establint un rànking de nivells del factor \(X\) (veure secció 4.4)

4.3. Adequació del model ANOVA

Per a poder aplicar ANOVA i confiar en els seus resultats, les \(Y\)’s deuen complir les condicions del model ANOVA (errors “normals”, independents entre sí, independients del nivell del factor, i amb variància comuna en tots els nivells).
Aquesta tasca es sól realitzar intuitivament amb dues figures.
Funció plot(...) aplicada sobre l’objecte tornat per aov(), torna 4 figures, de les quals examinem:
- Normal Q-Q (la segona): es relacionen els quantils teòrics de la normal amb els dels errors estimats.
  - Si els punts queden “a prop” de la diagonal, aleshores, aparentement, s’està complint la normalitat dels errors.
  - Si “prou” punts s’allunyen de la diagonal, aleshores, aparentement, està fallant la normalitat dels errors.
- Residuals vs Factor Levels (la quarta): es pot apreciar tant si els errors tenen una “tendència” que els fa “no independents” (línia roja), como si la variància és comuna en tots els nivells o no (amplària vertical dels núvols de punts).
La igualtat de variàncies es pot contrastar de manera objectiva: contrast de Bartlett d’igualtat de variàncies
- Funció bartlett.test(formula, data) o bé bartlett.test(x,...):
  - formula: la mateixa que en aov()
  - data: el mateix que aov()
  - x,...: els vectors amb les dades de \(Y\) per als diversos nivells del factor \(X\)
  - La hipòtesi nul.la és la igualtat de variàncies en tots els nivells

4.4. Comparacions a posteriori (pel mètode LSD de Fisher)

Si la taula ANOVA condueix a acceptar que \(Y\) no depén de \(X\), ja està tot fet.
En cas contrari, interessa conéixer quins nivells de \(X\) donen major mitjana de \(Y\). Fem un rànking dels nivells de \(X\).
Funció LSD.test(y, trt, alpha, console), pertanyent al paquet agricolae, que cal carregar (i instal.lar, si no ho està).
Arguments:
- y: objecte tornat per la funció aov().
- trt: nom (etiqueta entrecomillada) de la variable factor (la \(X\)).
- alpha: nivell de significació desitjat (\(0.05\) per defecte).
- console: ficar a TRUE si es vol veure en la R Console el resultat.
Torna: un objecte de tipus llista amb estadístics i taules,
- Una taula amb els nivells del factor i, per a cadascun,
  - la mitjana de la variable \(Y\),
  - error estàndar,
  - nombre d’observaciones,
  - interval de confiança, etc.;
- Estadístics varis;
- LSD: valor de la mínima distància significativa, i
- Taula amb
  - el ranking: codi (a, b, etc.) assignat per valor de mitjana,
  - nivell del factor,
  - mitjana de \(Y\) per a eixe nivell.
  - Pot aparéixer un nivell amb dos codis distints (quan no es pot distingir del nivell superior ni de l’inferior, però ambdós sí es distingeixen entre sí).

6. Exercicis avaluables

Carega l’espai de treball mt1021-1415-la-4-anova.RData, i en ell trobaràs les variables que necessites per als problemes.

# despeja esta linea cuando tengas l'archivo
#load("mt1021-1415-la-4-anova.RData")

Problema 1 (25%)

La variable tiempos recull els temps de realització d’una mateixa tasca informàtica de varis operadors (de característiques molt similars) baix 3 sistemes operatius, per a comparar sobre quin és més ràpida.

Realitza un gràfic “senzill” del temps en funció del sistema operatiu, que visualitze la possible influència del sistema operatiu sobre el temps.

# Escriu ací el codi R d'allò que es demana