Problema 1

Sea \(X\) una v.a. con función de densidad de probabilidad dada por la figura más abajo, asumiendo que lo que parecen segmentos rectilíneos son realmente segmentos rectilíneos, y que la escala no es la misma en ambos ejes.

(Ayuda: recuerda que las integrales son áreas, y que las áreas de los triángulos son más fáciles de calcular que las integrales)

  1. Escribe formalmente la función de densidad de probabilidad \(f(x)\).
  2. Calcula \(P(X < 2)\).
  3. Calcula el percentil \(95\) de \(X\).
  4. Escribe la fórmula completa de la función \(F(x)\).
  5. Calcula, de entre todos los intervalos de longitud 1, aquel que tiene la máxima probabilidad, y de paso, calcula esa probabilidad.

Problema 2

Define una variable aleatoria \(X\) con valores en el intervalo \([0,3]\), parecida a la del problema anterior, pero con forma “suave” (es decir, que sea derivable). Que tenga densidad nula en \(x=0\), creciente hasta \(x=1\), donde la densidad sea máxima, y decreciente a partir de ahí, hasta \(x=3\), donde la densidad vuelva a ser nula. (Nota: se valorará más si se define con una única expresión analítica, es decir, sin “trozos”, pero se puede hacer a trozos si no hay más ideas)

Problema 3

El tiempo de radiactividad de cada átomo de uranio 238 se puede suponer que es aleatorio, y se puede ver como una variable \(X \in [0, +\infty)\) (es decir, con valores no negativos) con función de densidad de probabilidad \(f(x) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\) para \(x \in [0,+\infty)\) que representa “años”, y con \(\lambda = 2.229 \cdot 10^{-10}\). Una vez pasado ese tiempo \(X\), el átomo decae, y deja de ser radiactivo. Calcula:

Ayuda: manipula las fórmulas con la letra \(\lambda\) todo el tiempo y sustitúyela por su valor sólo cuando sea necesario.

  1. La probabilidad de que un átomo siga siendo radiactivo después de mil millones de años.
  2. ¿En cuánto tiempo dejan de ser radiactivos la mitad de los átomos de uranio 238? (no lo parece, pero se puede interpretar como probabilidad)
  3. Escribe la fórmula completa de la función de distribución acumulada \(F(x)\).