Tres “emprendedores” (A, B y C) tienen unos ahorrillos, y deciden ofrecer un juego de azar al público, basado en el lanzamiento de un dado equilibrado, y consistente en cobrar 1€ al cliente, y pagarle un premio si sale un “6” al lanzar el dado. Como no se ponen de acuerdo, deciden intentarlo por separado.
Suponiendo que hay una gran población de clientes “inteligentes” interesados en jugar “muchas” veces, y que los emprendedores jugarán “mientras puedan”, HAZ TUS CUENTAS y comenta, BREVE y RAZONADAmente, cómo les irá (probablemente) en el negocio a los tres emprendedores cuando haya pasado “mucho tiempo”.
El tiempo de radiactividad de cada átomo de uranio 238 se puede suponer que es aleatorio, y se puede ver como una variable \(X \in [0, +\infty)\) (es decir, con valores no negativos) con función de densidad de probabilidad \(f(x) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\) con \(\lambda = 4.468 \cdot 10^9\) años. Una vez pasado ese tiempo \(X\) (para cada átomo puede ser distinto), el átomo decae (ya no es radiactivo).
Calcula: (1) la probabilidad de que un átomo siga radiactivo después de mil millones de años; (2) la esperanza (o media) del tiempo de radiactividad de ese tipo de átomos; (3) ¿en cuánto tiempo dejan de ser radiactivos la mitad de los átomos de uranio 238?
Ayuda: manipula las fórmulas con la letra \(\lambda\) y sustitúyela por su valor sólo cuando sea necesario.
Sea \(X\) la variable aleatoria dada por la función de probabilidad:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & 0.05 & 0.1 & 0.25 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\ \hline \end{array}\)
Se define la variable aleatoria \(Y = (X-2)^2\), que depende de la variable \(X\). Escribe el rango de valores de \(Y\) así como su función de probabilidad en forma de tabla.