Práctica 4: Inferencia estadística básica

0. Los datos de la práctica

• Copia el siguiente bloque de código en la consola de R para cargar los datos de la práctica (se utilizarán en la sección de ejercicios):

  load(url('http://goo.gl/tqMDyM'))

• ATENCIÓN: escribe siempre el nombre de los argumentos de las funciones, o se pueden dar errores involuntarios

1. ¿Qué es Inferencia Estadística?

• Manejamos un proceso que genera datos:
  • Proceso: pensaremos que se trata de una variable aleatoria \(X\) (binomial, Poisson, normal, etc.)
  • Datos: salen de esa variable aleatoria \(X\), de manera independiente, y forman la muestra \(\{x_1, \ldots, x_n\}\).
• Cálculo de probabilidades: si conozco el modelo exacto que sigue \(X\), ¿cómo serán los datos de la muestra?
• Inferencia estadística: si conozco datos de una muestra de \(X\), ¿cómo es el modelo que sigue \(X\) y que ha creado esos datos?

2. Dos tipos de inferencia

• Estimación de parámetros:
  • Se asume un modelo (binomial, poisson, normal,…) para \(X\), pero no el valor de su(s) parámetro(s).
  • Se quiere “estimar” el valor del parámetro desconocido (\(p\), \(\lambda\), \(\mu\), \(\sigma^2\),…) con ayuda de una muestra de \(X\).
• Contraste de hipótesis:
  • Se pre-supone algo (ideal o lógico) sobre \(X\).
  • Se constrasta si es cierta esa suposición con ayuda de una muestra de \(X\).

2.1. Estimación de parámetros

• Estimación puntual: (sample estimates) el valor “más creíble” del parámetro a partir de la muestra
• Estimación por intervalo de confianza: (confidence interval) un intervalo de valores más creíbles del parámetro a partir de:
  • Los datos de la muestra y
  • Un nivel de confianza alto (por ejemplo \(80\)%, \(90\)%, \(95\)%, \(99\)%, etc.).

2.2. Contraste de hipótesis (test)

• ¿Cuándo se plantea?
  • Cuando hay serias sospechas de que no se cumple un “presunto” supuesto.
  • \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{hipótesis nula (cierta hasta que se demuestre lo contrario)} \\ H_1: \ \text{hipótesis alternativa (falsa hasta que se demuestre lo contrario)} \end{array} \right.\)
• PROCEDIMIENTO HABITUAL PARA LOS CONTRASTES:
  1. Se plantea el contraste \(H_0\) vs \(H_1\).
  2. Se toma la muestra.
  3. Se calcula un estadístico “sensible a distinguir” \(H_0\) de \(H_1\).
  4. Se calcula el \(p\)-valor del estadístico.
  5. Se elige un nivel de significación \(\alpha\) pequeño (\(10\)%, \(5\)%, \(1\)%, etc.) para limitar el riesgo de equivocarse (rechazando \(H_0\) cuando sea cierta).
  6. El procedimiento es:
     • \(p\)-valor \(\leq \alpha \Longrightarrow\) RECHAZAR \(H_0\) (en favor de \(H_1\))
     • \(p\)-valor \(> \alpha \Longrightarrow\) ACEPTAR \(H_0\) (en detrimento de \(H_1\))
  7. En general es imposible saber “con seguridad” si \(H_0\) es cierta o no, porque la muestra es posible bajo ambos supuestos:
     • Error tipo I: rechazar \(H_0\) cuando es cierta (es el error más grave, y por eso se limita con el nivel de significación \(\alpha\)).
     • Error tipo II: aceptar \(H_0\) cuando es falsa.
• UN PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO PARA CONTRASTES “SOBRE EL VALOR DE UN PARÁMETRO”:
  1. Se plantea el contraste \(H_0: \theta = \theta_0\) vs \(H_1: \text{"otra cosa"}\), donde \(\theta\) es el nombre del parámetro y \(\theta_0\) el presunto valor.
  2. Se elige un nivel de significación \(\alpha\) pequeño (\(10\)%, \(5\)%, \(1\)%, etc.) para limitar el riesgo de equivocarse (rechazando \(H_0\) cuando sea cierta).
  3. Se calcula \(IC\), el intervalo de confianza de nivel \(1 - \alpha\) para el parámetro en cuestión (teniendo en cuenta también \(H_1\))
  4. La decisión es:
     • Si \(\theta_0 \in IC \Longrightarrow\) ACEPTAR \(H_0\)
     • Si \(\theta_0 \notin IC \Longrightarrow\) RECHAZAR \(H_0\)
• Ejemplo:
  1. Una moneda se usa para hacer sorteos.
  2. Se presupone “equilibrada”.
  3. Se observan lanzamientos que hacen sospechar que esté equilibrada.
  4. Se plantea el contraste: \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{moneda equilibrada} \\ H_1: \ \text{moneda desequilibrada } \end{array} \right.\)
  5. Se pide una muestra de esa moneda. Por ejemplo CCXCCCCXCC.
  6. Se calcula un estadístico “sensible” a distinguir entre \(H_0\) y \(H_1\).
     • Por ejemplo: \(T\) = “número de caras”.
     • En esta muestra \(T=8\).
     • Es sensible, porque si \(H_0\) es cierta, \(T\) sale cerca de 5 y si \(h_0\) es falsa, \(T\) se alejaría de 5 (por arriba o por abajo)
     • Pero \(T=8\) es posible bajo \(H_0\) y bajo \(H_1\).
     • Los contrastes no son infalibles.
     • \(p\)-valor de \(T=8\): probabilidad de encontrar un valor “tan inverosímil o más” que \(T=8\) suponiendo que \(H_0\) sea cierta
     • Si \(p\)-valor es muy pequeño, \(H_0\) es menos creíble y RECHAZAMOS \(H_0\)
     • Si \(p\)-valor no es tan pequeño, ACEPTAMOS \(H_0\)
  7. Escoger nivel de significación \(\alpha\)

3. La \(p\) de UNA binomial (o Bernoulli): contrastes de hipótesis e intervalo de confianza

• Ejemplos:
  • Una moneda se lanza \(100\) veces dando \(37\) caras.
    • ¿Cuál es la \(p\) (probabilidad de “obtener cara”) de esta moneda? (estimación)
    • ¿Podemos fiarnos de que es una moneda “equilibrada” (\(p=0.5\))? (contraste)
  • Una producción es serie saca \(5\) defectusos de los últimos \(300\) producidos.
    • ¿Cuál es la \(p\) = “tasa a largo plazo de unidades defectuosas”? (estimación)
    • ¿Podemos fiarnos de que la tasa de defectos está bajo control, p.ej. \(p \leq 0.02\)? (contraste)
• Contrastes \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p \neq p_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p < p_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p = p_0 \\ H_1: \ p > p_0 \end{array} \right.\) donde \(p_0\) es un valor numérico concreto
• Intervalo de confianza para \(p\)
• Estimación puntual de \(p\)
• FUNCIÓN prop.test(x, n, p, alternative, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: número de éxitos de la muestra
    • n: tamaño de la muestra
    • p: sólo para el contraste, Valor presunto \(p_0\) (NULL por defecto)
    • alternative: sólo para el contraste. Dirección de \(H_1\).
      • "two.sided" para \(\neq\) (por defecto)
      • "less" para \(<\)
      • "greater" para \(>\)
    • conf.level: sólo para intervalo de confianza. Nivel de confianza (por defecto \(0.95\))
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: el \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • sample estimates: la estimación puntual
    • confidence interval: el intervalo de confianza

EJERCICIO 1: Un alumno quiere valorar su tasa de éxito en preguntas de Estadística. Para ello coge problemas al azar de un libro, y los resuelve, de modo que al final de la sesión, ha resuelto correctamente \(19\) de los \(30\) problemas atacados.

• Calcula la estimación puntual de la “probabilidad de resolver correctamente un problema” de este alumno.
  • Sol.: \(0.6333333\)
• Calcula un intervalo de confianza para dicha probabilidad, usando un nivel del confianza del \(90\)%.
  • Sol.: \(p \in [0.4668433, 0.7753366]\) con una confianza del \(90\)%
• El alumno quiere demostrar que su eficacia de resolver problemas es superior al 50%. ¿Que dicen los datos si quiere una significación del \(5\)%?
  • Sol.: Quiere demostrar \(H_1: \ p > 0.5\), y el contraste devuelve un \(p\)-valor = \(0.1006213\). Como \(p\)-valor \(>\) \(\alpha\), entonces debe aceptar \(H_0\), por lo que no demuestra su eficacia superior al \(50\)%.

FIN EJERCICIO 1

4. Las \(p\)’s de DOS binomiales (o pruebas de Bernoulli) independientes

• Ejemplo: Un tratamiento nuevo dice ser más efectivo (cura más pacientes) que el actual. ¿Es eso verdad? Si \(p_A\) es la tasa de curación del tratamiento actual y \(p_N\) es la tasa de curación del tratamiento nuevo, \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_N = p_A \\ H_1: \ p_N > p_A \end{array} \right.\)
• Contrastes \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 \neq p_2 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 < p_2 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 > p_2 \end{array} \right.\)
• Intervalo de confianza para \(p_1 - p_2\)
• Estimación puntual de \(p_1\) y \(p_2\)
• FUNCIÓN prop.test(x, n, p, alternative, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: vector con los DOS números de éxitos de las dos muestras
    • n: vector con los DOS tamaños de las dos muestras
    • p: sólo para contraste. Dejar su valor por defecto (NULL) para contrastar la igualdad de las dos proporciones.
    • alternative: sólo para contraste. Dirección de \(H_1\).
      • "two.sided" para \(\neq\) (por defecto)
      • "less" para \(<\)
      • "greater" para \(>\)
    • conf.level: sólo para intervalo de confianza. Nivel de confianza (por defecto 0.95)
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: el \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • confidence interval: el intervalo de confianza para la diferencia \(p_1 - p_2\)
    • sample estimates: las estimaciones puntuales de \(p_1\) y \(p_2\)

EJERCICIO 2: Dos alumnos quieren comparar su tasa de efectividad en preguntas tipo test de estadística. Uno ha acertado 15 preguntas de 25, y el otro ha acertado 10 de 20. A priori, no se puede decir que uno sea mejor que el otro. ¿Qué diría la estadística con estos datos, si se usa un nivel de significación del 10%?

• Sol.: Se quiere comprobar si es cierto \(H_1: \ p_1 \neq p_2\), y el contraste devuelve un \(p\)-valor = \(0.7122\). Como \(p\)-valor \(> 0.10\), entonces debe aceptar \(H_0\), es decir, que no hay uno mejor que el otro.

FIN EJERCICIO 2

5. La media \(\mu\) de UNA normal (o de cualquier modelo si la muestra es grande)

• Ejemplo: Analizar si está bien calibrada una máquina, por ejemplo, que dispensa 1500 cc de agua en botellas de agua mineral:
  • \(H_0: \ \mu = 1500\) (bien calibrada)
  • \(H_1: \ \mu \neq 1500\) (mal calibrada)
• Contrastes \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu \neq \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu < \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = \mu_0 \\ H_1: \ \mu > \mu_0 \end{array} \right.\) donde \(\mu_0\) es un valor concreto.
• Intervalo de confianza para \(\mu\)
• Estimación puntual de \(\mu\)
• FUNCIÓN t.test(x, alternative, mu, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la muestra.
    • alternative: Dirección de \(H_1\).
      • "two.sided" para \(\neq\) (por defecto)
      • "less" para \(<\)
      • "greater" para \(>\)
    • mu: \(\mu_0\), el presunto valor (por defecto 0).
    • conf.level: nivel de confianza (por defecto 0.95).
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • confidence interval: el intervalo de confianza para la \(\mu\)
    • sample estimates: la estimación puntual de la \(\mu\)

EJERCICIO 3: Se supone que el tiempo que emplea un operario en realizar una serie de tareas sigue el modelo normal. Se registra el tiempo, en minutos, que emplea en las 10 últimas tareas:

Tarea	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Tiempo	5.05	5.1	5.21	4.98	4.58	4.94	5.1	5.15	5.46	5.11

• ¿Cuál es la estimación puntual de la media (de la normal que modeliza el tiempo de este operario)?
  • Sol.: \(5.068\)
• Calcula el intervalo de confianza para dicha media de la normal, usando un nivel de confianza del \(99\)%.
  • Sol.: \([4.8389794, 5.2970206]\)
• Asumiendo un nivel de significación del \(3\)%, ¿los datos demuestran que el verdadero tiempo medio es superior a \(5\) minutos?
  • Sol.: Sale un \(p\)-valor = \(0.179895 > 0.03\), que conduce a aceptar \(H_0\), por lo que decidimos que no es superior a 5 minutos.

FIN EJERCICIO 3

6. Las medias \(\mu_1\) y \(\mu_2\) de DOS normales (o modelos cualesquiera si la muestra es grande)

• Ejemplo: ver si un nuevo algoritmo \(X\) es más rápido que otro \(Y\)
  • \(H_0: \ \mu_X = \mu_Y\) (mismo tiempo medio)
  • \(H_1: \ \mu_X < \mu_Y\) (menos tiempo medio el nuevo)
• ¿Datos independientes o emparejados?
  • Ejemplo: dos personas realizan 10 tareas para ver quien es más rápido.
    • Si preparo 20 tareas “similares pero distintas”, y se dividen en 10 tareas a cada uno, cada tiempo de una persona es independiente del tiempo de la otra.
    • Si preparo 10 tareas “similares pero distintas”, y se asignan las 10 tareas a ambos, cada tiempo de una persona está emparejado con el tiempo de la otra persona en la misma tarea, pues la dificultad de dicha tarea afecta por igual a las dos personas
• Contrastes \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_1 - \mu_2 = \mu_0 \\ H_1: \ \mu_1 - \mu_2 \neq \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_1 - \mu_2 = \mu_0 \\ H_1: \ \mu_1 - \mu_2 < \mu_0 \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_1 - \mu_2 = \mu_0 \\ H_1: \ \mu_1 - \mu_2 > \mu_0 \end{array} \right.\) donde \(\mu_0\) es un valor concreto (habitualemente 0 para comparar si son iguales).
• Intervalo de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\)
• Estimación puntual de \(\mu_1\) y \(\mu_2\) (o bien de \(\mu_1-\mu_2\) si son datos emparejados).
• FUNCIÓN t.test(x, y, alternative, mu, paired, var.equal, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la muestra 1.
    • y: datos de la muestra 2.
    • alternative: sólo para contraste. Dirección de \(H_1\).
      • "two.sided" para \(\neq\) (por defecto)
      • "less" para \(<\)
      • "greater" para \(>\)
    • mu: sólo para contraste. \(\mu_0\), el presunto valor (por defecto \(0\) para comparar la igualdad).
    • paired: IMPORTANTE. Por defecto FALSE, indica datos independientes. Si los datos están emparejados por el muestreo, poner TRUE.
    • var.equal: por defecto FALSE. Si hubiera motivos para suponer que las varianzas poblacionales son iguales, se pondría TRUE, pero no es el caso en esta práctica.
    • conf.level: sólo para intervalo de confianza. Nivel de confianza (por defecto 0.95).
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • confidence interval: el intervalo de confianza para la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\).
    • sample estimates: la estimación puntual de \(\mu_1\) y \(\mu_2\) (si son dos muestras independientes) o de la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\) (si son dos muestras emparejadas).

EJERCICIO 4: Para comparar la rapidez de dos operarios, se proponen 10 tareas distintas, las mismas para ambos, y se registra el tiempo de cada uno en cada tarea.

Oper. / Trab.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	5.05	5.1	5.21	4.98	4.58	4.94	5.1	5.15	5.46	5.11
B	4.68	4.92	5.22	5.07	5.24	4.89	4.83	5.11	5.13	4.87

• Calcula el intervalo de confianza para el tiempo medio de cada uno, usando un nivel de confianza del \(99\)%.
  • Sol.: \([4.8389794, 5.2970206]\) para A, y \([4.8063675, 5.1856325]\) para B.
• Asumiendo un nivel de significación del \(3\)%, ¿los datos demuestran alguna diferencia significativa en la velocidad de ambos operarios?
  • Sol.: Sale un \(p\)-valor = \(0.4658923 > 0.03\), que conduce a aceptar \(H_0\), por lo que no existen diferencias significativas.
• ¿Cómo quedaría el apartado anterior si los datos de la tabla fueran de 20 tareas distintas, asignando 10 a un operario y otras 10 a otro?
  • Sol.: Saldría un \(p\)-valor = \(0.4419082 > 0.03\), que conduce a aceptar \(H_0\), por lo que no existen diferencias significativas.

FIN EJERCICIO 4

7. Las varianzas \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) de DOS normales independientes

• Ejemplo: es conocido que la media de alturas en las poblaciones de hombres y mujeres es distinta. ¿Lo es también la dispersión?
• Contrastes \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 = k \\ H_1: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 \neq k \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 = k \\ H_1: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 < k \end{array} \right.\) o bien \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 = k \\ H_1: \ \sigma^2_1 / \sigma^2_2 > k \end{array} \right.\) donde \(k\) es un valor concreto (habitualmente 1 para comparar la igualdad de varianzas).
• FUNCIÓN var.test(x, y, ratio, alternative, conf.level):
  • Argumentos:
    • x: datos de la muestra 1.
    • y: datos de la muestra 2.
    • ratio: sólo para contraste. \(k\), el presunto cociente (por defecto \(1\) para comparar la igualdad de varianzas).
    • alternative: sólo para contraste. Dirección de \(H_1\).
      • "two.sided" para \(\neq\) (por defecto)
      • "less" para \(<\)
      • "greater" para \(>\)
    • conf.level: sólo para intervalo de confianza. Nivel de confianza. Su valor por defecto es 0.95.
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • confidence interval: el intervalo de confianza para ·\(\sigma^2_1 / \sigma^2_2\).
    • sample estimates: el cociente de las varianzas muestrales.

8. Un contraste de normalidad

• Ejemplo: se han recogido datos de un proceso, que se supone que sigue el modelo normal. ¿Se puede contrastar eso?
• Contraste \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra viene de un modelo normal} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• Hay muchas propuestas para resolver este contraste.
• Usaremos el contraste de normalidad de Shapiro-Wilks.
• FUNCIÓN shapiro.test(x):
  • Argumentos:
    • x: datos de muestra
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.

9. Bondad de ajuste de una muestra a un modelo (dado por tabla de probabilidades)

• Ejemplo:
  • Un dado se usa para un juego de azar, y se sospecha que no está equilibrado.
  • Se plantea el contraste \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra viene del modelo } \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X &1&2&3&4&5&6 \\ \hline f(X) & 1/6&1/6&1/6&1/6&1/6&1/6 \\ \hline\end{array} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
  • Se lanza el dado muchas veces y se cuenta la frecuencia de cada resultado.
• Contraste \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{la muestra viene del modelo } \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & x_1 & x_2 & \cdots & x_k \\ \hline f(X) & p_1 & p_2 & \cdots & p_k \\ \hline\end{array} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, p)
  • Argumentos:
    • x: vector de las frecuencias de cada dato de la muestra (si se tiene la muestra, es el resultado de table() aplicado a la muestra)
    • p: vector de probabilidades del modelo, es decir c(\(p_1\) , \(p_2\) , \(\ldots\) , \(p_k\) ).
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de peligro de mala aproximación (si procede).

EJERCICIO 5: Una muestra presenta los valores \(0\), \(1\), \(2\) y \(3\) con frecuencias respectivas \(15\), \(35\), \(28\) y \(19\). Se presume que el modelo viene dado por las probabilidades \(P(X=0) = 0.2\), \(P(X=1) = 0.3\), \(P(X=2) = 0.3\), \(P(X=3) = 0.2\). ¿La muestra es compatible con dicho modelo usando una significación del \(10\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.5233365 > 0.1\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con el modelo.

FIN EJERCICIO 5

10. Contraste de independiencia enrte dos variables cualitativas

• Ejemplo: ¿ser zurdo o diestro es independiente de ser hombre o mujer? Debería serlo, pero si lo dudamos, se puede poner a prueba.
• Contraste \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ X \text{ e } Y \text{ son independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
• FUNCIÓN chisq.test(x, y)
  • Argumentos:
    • x: dos posibilidades:
      • vector con los datos de la muestra \(X\), o bien
      • tabla de frecuencias conjuntas de \(X\) e \(Y\):
        • que puede obtenerse con la función table() sobre los datos de ambas variables, o bien
        • escrita como matriz usando la función matrix(...).
    • y: dos posibilidades:
      • vector con los datos de \(Y\) (si el argumento x contiene solo los datos de la muestra \(X\)), o bien
      • nada, si el argumento x contiene la tabla de frecuencias conjuntas de \(X\) e \(Y\).
  • Devuelve: un objeto complejo que se muestra parcialmente en pantalla, del que interesa:
    • p-value: \(p\)-valor del estadístico de contraste, que sirve para tomar la decisión.
    • Warning: mensaje de peligro de mala aproximación (si procede).
• Recordatorio: para definir una matriz en R, se incluye el siguiente ejemplo:
  • \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\)
  • matrix(data=c(1,2,3,4,5,6), ncol=3, byrow=TRUE)
  • se indican las entradas de la matriz, el número de columnas que tendrá, y si se rellena poner por filas.

EJERCICIO 6: Una muestra contiene \(82\) hombres diestros, \(8\) hombres zurdos, \(59\) mujeres diestras y \(11\) mujeres zurdas. ¿La muestra es compatible con que la “lateralidad manual” es independiente del “sexo”, usando una significación del \(5\)%?

• Sol.: Se obtiene un \(p\)-valor = \(0.281197 > 0.05\), por lo que se acepta \(H_0\), es decir, que la muestra sí es compatible con que sean independientes.

FIN EJERCICIO 6

10. Resumen de inferencia

• Porcentaje (proporción, tasa,…)
  • Una \(p\): prop.test(x, n, p, alternative, conf.level)
  • Dos \(p\)’s: prop.test(x, n, p, alternative, conf.level)
• Valor “medio”
  • Una media: t.test(x, alternative, mu, conf.level)
  • Dos medias: t.test(x, y, alternative, mu, paired, var.equal, conf.level)
• Varianza (dos varianzas): var.test(x, y, ratio, alternative, conf.level)
• Normalidad: shapiro.test(x)
• Bondad de ajuste: chisq.test(x, p)
• Independencia: chisq.test(x, y)

12. Ejercicios preparatorios extra

• EJERCICIO 7: La variable x1 contiene datos que supondremos de una normal de media \(\mu\) desconocida.
  • 1. Estimación puntual de la media \(\mu\).
  • 2. Intervalo de confianza al 90% para la verdadera media \(\mu\).
  • 3. ¿Se puede admitir que la media es 5, contra que la media no es 5, usando un nivel de significación del 10%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu \neq 5 \end{array} \right.\)
  • 4. ¿Se puede admitir que la media es 5, contra que la media es mayor que 5, usando un nivel de una significación del 10%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu = 5 \\ H_1: \ \mu > 5 \end{array} \right.\)
  • Sol.: (a) \(5.192\), (b) \([4.986376, 5.397624]\), (c) p-valor = \(0.1232332\) > 0.1 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu=5\) por lo que la respuesta es SÍ. (d) p-valor = \(0.0616166\) < 0.1 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: \mu=5\) en favor de \(H_1: \mu > 5\), por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 8: Los datos de la variables x2 y x3 recogen los tiempos de entrenamiento de 2 atletas.
  • 1. Calcula el tiempo medio de cada atleta.
  • 2. Si suponemos que los tiempos de los dos atletas siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que tienen la misma media desconocida usando una significación del 1%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \ \mu_1 \neq \mu_2 \end{array} \right.\)
  • 3. Calcula el intervalo de confianza para la diferencia de las dos medias usando un nivel de confianza del 90%.
  • 4. Contrasta si se puede aceptar o no que las varianzas (desconocidas) de los tiempos de los atletas son iguales usando una significación del 10%. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \sigma^2_1 = \sigma^2_1 \\ H_1: \ \sigma^2_1 \neq \sigma^2_1 \end{array} \right.\)
  • Sol.: (a) \(10.197\) y \(10.119\) resp., (b) p-valor = \(0.0205365\) > 0.01 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_1 = \mu_2\), por lo que la respuesta es SÍ, (c) \([0.0247966, 0.1312034]\). (d) p-valor = \(0.6484925\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0\) (igualdad de varianzas), por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 9: La hoja de datos x4 recoge los tiempos de dos operarios en realizar una serie de tareas (las mismas tareas para cada uno).
  • 1. Calcula el tiempo medio por tarea de cada operario.
  • 2. Si suponemos que los tiempos siguen ambos modelos normales, ¿se puede aceptar que ambos operarios son igual de eficientes (misma media desconocida) usando una significación del 5%? Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \mu_1 = \mu_2 \\ H_1: \ \mu_1 \neq \mu_2 \end{array} \right.\)
  • Sol.: (a) \(79.31\) y \(79.7\) resp., (b) p-valor = \(0.8680351\) > 0.05 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) por lo que la respuesta es SÍ.
• EJERCICIO 10: Un alumno se quiere presentar a las elecciones de delegado de curso si puede aceptar que va a tener un % de voto superior al 33%. Es decir si rechaza \(H_0\) en el contraste \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p \leq 0.33 \\ H_1: \ p > 0.33 \end{array} \right.\). Para ello pregunta a 23 compañeros, entre los que 9 declaran que le votarían. ¿Qué decisión debería tomar si asume una significación del 10%?
  • Sol.: p-valor = \(0.3432767\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTARÍA \(H_0: p \leq 0.33\), por lo que la respuesta es que NO se presentaría.
• EJERCICIO 11: Se quiere comparar la eficacia de dos tratamientos. Uno de ellos se aplica a un grupo de 25 personas de las que 14 mejoran. El otro se aplica a un grupo de 33 personas de las que sólo 11 mejoran.
  • 1. Calcula el porcentaje de éxito de cada tratamiento.
  • 2. Calcula un intervalo de confianza para cada \(p\) usando un nivel de confianza del 90%.
  • 3. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p_1 = p_2 \\ H_1: \ p_1 \neq p_2 \end{array} \right.\)
  • 4. Contrasta si se puede aceptar que los dos tratamientos tienen la misma eficacia (misma ‘p’) usando una significación del 10% contra la hipótesis de que el primero es mejor que el segundo. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ p1X = p_2 \\ H_1: \ p_1 > p_2 \end{array} \right.\)
  • Sol.: (a) \(56\)% y \(33.3333333\)% resp., (b) \([0.3802979, 0.7266203]\) y \([0.203008, 0.4916309]\) resp., (c) p-valor = \(0.1446929\) > 0.10 (\(\alpha\)), por tanto ACEPTAMOS \(H_0: p_1 = p_2\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es SÍ, (d) p-valor = \(0.0723464\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0: p_1 = p_2\) (la igualdad de eficacias) por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 12: Contrasta si se ha hecho bien en el EJERCICIO 7 al dar por sentado que los datos de la variable x1 venían del modelo normal usando una significación del 10%.
  • Sol: p-valor = \(0.0874044\) < 0.10 (\(\alpha\)), por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo normal), por lo que la respuesta es NO.
• EJERCICIO 13: Contrasta si se puede aceptar que el número de respuestas correctas de alumnos a un examen tipo test de 5 preguntas sigue el modelo binomial de \(n = 5\) y \(p = 0.5\), usando una significación del 10%, y donde los datos están en el vector x5. Es decir \(\left\{ \begin{array}{l} H_0: \ \text{muestra viene de Bin(5, 0.5)} \\ H_1: \ \text{no } H_0 \end{array} \right.\) (ayuda: para conseguir la tabla de probabilidad del modelo binomial necesitas la función dbinom(...) de la Práctica 3).
  • Sol.: p-valor = \(0.0886439\) < 0.10 (\(\alpha\)) por tanto RECHAZAMOS \(H_0:\) (modelo binomial del enunciado), por lo que la respuesta es NO (sale un mensaje de aviso de aproximación incorrecta).
• EJERCICIO 14: Según la muestra de la encuesta realizada al inicio de curso (variable x), contrasta si se puede aceptar que las variables sobre internet en el móvil (internet) y el sistema operativo en PC (so_pc) son independientes, usando un nivel de significación del 10%. Es decir, si \(\left\{ \begin{array}{l} \text{'internet' y 'so_pc' independientes} \\ H_1: \ \text{No } H_0 \end{array} \right.\)
  • Sol.: p-valor = \(0.7670897\) > 0.10 (\(\alpha\)) por tanto ACEPTAMOS \(H_0:\) (independientes), por lo que la respuesta es SÍ.